模板 - 数学 - 数论 - 莫比乌斯反演 - 2

Posted 2021-02-12 yinku

示例：

1.经典问题 求 $f(x,n,m)=sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==x]$ ：

答案： $f(x,n,m) = sumlimits_{k=1}mu(k){lfloor{frac{n}{kx}}} floor{lfloor{frac{m}{kx}} floor}$

 

构造： $F(x,n,m) = sumlimits_{x|d}f(d) = sumlimits_{k=1}f(kx) =sumlimits_{k=1}sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==kx] = {lfloor{frac{n}{x}}} floor{lfloor{frac{m}{x}} floor}$ （只要 $i,j$ 都是 $x$ 的倍数， $gcd(i,j)$ 一定是某个 $x$ 的 $k$ 倍）

反演： $f(x,n,m) = sumlimits_{x|d}mu(frac{d}{x})F(d) = sumlimits_{k=1}mu(k)F(kx) = sumlimits_{k=1}mu(k){lfloor{frac{n}{kx}}} floor{lfloor{frac{m}{kx}} floor}$

当 $kx>min(n,m)$ 的时候 $f(kx)=0$

 

当 $x=1$ 时，代入公式得 $f(1,n,m) = sumlimits_{k=1}mu(k){lfloor{frac{n}{k}}} floor{lfloor{frac{m}{k}} floor}$ ，所以 $f(x,n,m)=f(1,lfloorfrac{n}{x} floor,lfloorfrac{m}{x} floor)$

 

2.经典问题求 $f_2(n,m) = sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m}gcd(i,j)$ ：

答案：$sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m}gcd(i,j) = sumlimits_{x=1}^{}mu(x){lfloor{frac{n}{kx}}} floor{lfloor{frac{m}{kx}} floor}$

 

这一次我们要求所有的 gcd 的和，显然所求为 $f_2(n,m) = sumlimits_{x=1}xf(x,n,m)$ 。也就是所有的 gcd 的个数乘上这个gcd本身的值。

 $f_2(n,m) = sumlimits_{x=1}xf(x,n,m) = sumlimits_{x=1}xf(1,lfloorfrac{n}{x} floor,lfloorfrac{m}{x} floor) = sumlimits_{x=1}x sumlimits_{k=1}mu(k){lfloor{frac{n}{k}}} floor{lfloor{frac{m}{k}} floor}$

 

3.求 $f=sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m}gcd(i,j)^k$ 

答案：$sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m}gcd(i,j)^k = sumlimits_{d=1}^{n}d^ksumlimits_{x=1}^{lfloor{frac{n}{d}} floor}mu(x){lfloor{frac{n}{dx}}} floor{lfloor{frac{m}{dx}} floor}$

 第1题算出 $f_2(x)=sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==x]$ ，这一次我们要求所有的 gcd 的k次方，显然所求为 $f=sumlimits_{x=1}x^kf_2(x)$ 。也就是所有的 gcd 的个数乘上这个 gcd 的 k 次方值。

 

4.求给定的 n 个数中有多少个四元组 (a,b,c,d) 的 gcd==1 ：

f(t) = 求给定的 n 个数中有多少个四元组 (a,b,c,d) 的 gcd==t ，

F(t) = 求给定的 n 个数中有多少个四元组 (a,b,c,d) 的 gcd==kt 。

那么我们要求 f(1) ，应用倍数公式后，只要快速求解每一个 F(t) 就足够了。由于 k 是任意的，所以 gcd 被我们去掉了，我们只需要求 t 的倍数有m个，然后 $C_m^4$ 就是 F(t)。

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参考资料：

https://blog.csdn.net/jk_chen_acmer/article/details/82712276