2019 ICPC EC Finals C. Heretical … Möbius（中国剩余定理，序列检验）

Posted 2021-08-06 繁凡さん

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2018 ICPC EC Finals C. Heretical … Möbius

Weblink

https://codeforces.com/gym/102056/problem/C

Problem

给定长度为 $200$ 的 $01$ 序列 $|\mu (i)|$，找到符合的最小的起点 $x$，即 $|\mu (x)|\sim |\mu (x+199)|$ 要求完全的给定的序列对照一致。

Solution

由于给定的是绝对值的 $01$ 串，所以只有 $\mu (i)=0$ 有用，所以从这里出发考虑。

我们知道 $\mu (x)=0$ 则 $x$ 一定含有因子 $p^2$，而序列长度仅为 $200$ ，这好像在提示着我们些什么。我们知道 $200$ 以内的因子 $p^2$ 一共就只有 $6$ 个，即：$4,9,25,49,121,169$。也就是说在一个长度为 $200$ 的连续自然数序列里，所有 $\mu (i)=0$ 的数，一定至少存在这 $6$ 个 $p^2$ 因子。所以就有了思路：

对于一个正确合法的起点 $x$ ，在 x + { 0 ∼ 3 } x+\\{0\\sim 3\\} x+{0∼3} 的范围内的数，一定存在 $4$ 的倍数，即 $x$ 模 $4$ 的模数，也就是输入的序列为 $0$ 。因为 { 0 ∼ 3 } \\{0\\sim 3\\} {0∼3} 是 $4$ 的简化剩余系，同理，对于其他的 $5$ 个 $p^2$ 因子同样成立。我们设 m = { 4 , 9 , 25 , 49 , 121 , 169 } m=\\{4,9,25,49,121,169\\} m={4,9,25,49,121,169}，也就意味着我们就可以枚举每个因子的简化剩余系，一定能找到一个数 $y=x+a_i$，是 $m_i$ 的倍数，即含有 $m_i$ 这个 $p^2$ 因子，即 $x\equiv a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$ 。至于如何判断枚举到的 $i$ 是否合法，我们可以枚举一下 $a_i+k_i\times m_i$ 看该位置的字符串是否为 $0$ 。这样我们就得到了 6 个同余方程 $x\equiv a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$，可以直接用中国剩余定理得到一个解，这个解就是题目中想要求的一个解，我们判断一下这个解是否合法，并且答案要求的是最小的解，所以我们对于每一个解取 $\min$（如果当前解 $v$ 不合法，那么就看下一个解 $x+M$ 是否合法，以此类推）那么如何得到所有的可能的解呢？显然可以按照上面的思路，爆搜搜到 $6$ 个 $a_i$ ，然后 CRT 求一下解 $v$ ，for 循环判断一下是否与题中输入的字符串完全相同即可。

最后需要判断一下输入的 $\mu$ 序列是否合法，也就是 $(\frac{200}{4})=50\sim 87=(\frac{200}{4}=50+\frac{200}{9}=22+\frac{200}{25}=8+\frac{200}{49}=4+\frac{200}{121}=2+\frac{200}{169}=1)$ ，不然会 T 的很惨 …

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 600007, INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-8;
typedef int itn;
int t, n;
ll M = 1;
string str = " ";
string s;
int m[] = {0, 4, 9, 25, 49, 121, 169};
int cnt, primes[N];
//50 22 8 4 2 1 = 87
int a[N];
int ans = INF;
bool vis[N];

void init(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; ++ i) {
        if(vis[i] == 0) primes[ ++ cnt] = i;
        for(int j = 1; j <= cnt && i * primes[j] <= n; ++ j) {
            vis[i * primes[j]] = true;
            if(i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

inline int exgcd(itn a, int b, int& x, int& y)
{
    if(b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, x, y);
    int z = x;
    x = y;
    y = z - y * (a / b);
    return d;
}

int CRT()
{
    int res = 0;
    int x, y, GCD;

    for(int i = 1; i <= 6; ++ i) {
        int Mi = M / m[i];
        int d = exgcd(Mi, m[i], x, y);
        x = (x % m[i] + m[i]) % m[i];
        res = (res + 1ll * Mi * a[i] * x) % M;
    }
    return (res + M) % M;
}

int mu(int v)
{
    for(int i = 1; i <= cnt && primes[i] * primes[i] <= v; ++ i) {
        if(v % (primes[i] * primes[i]) == 0) 
	        return 0; 
    }
    return 1以上是关于2019 ICPC EC Finals C. Heretical … Möbius（中国剩余定理，序列检验）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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