单纯看懂公式的单位根反演

Posted 2020-12-24 chenxiaoran666

前言

很久以前就听说是个挺有用的东西，然而一直没有去学。

最近打算恶补一下数学，像类欧啊，单位根反演啊，斯特林反演啊，都决定去写篇博客装装样子、充充门面。

于是，我来了。

大致用途

在(O(k))的时间内求出一个数列中所有下标为(k)的倍数的数值和。

当然，它也同样可以应用于生成函数中发挥神奇的作用。

公式

[[k|n]=frac 1ksum_{i=0}^{k-1}omega_k^{ni} ]

开局上公式的操作让我不禁想到拉格朗日插值。

考虑如何证明，自然是分两类讨论。

当(k|n)时：

[frac1ksum_{i=0}^{k-1}omega_k^{ni}=frac1ksum_{i=0}^{k-1}(omega_k^n)^i=frac 1k imes k=1 ]

当(k ot|n)时：

[frac1ksum_{i=0}^{k-1}omega_k^{ni}=frac 1kcdot omega_k^0cdotfrac{omega_k^0-omega_k^{kn}}{1-omega_k^n}=frac 1kcdot omega_k^0cdot 0=0 ]

证明完毕。

这篇博客就是当个摆设的，例题什么的看情况再补吧。