二项式系数相关小结

Posted 2020-08-15

说明：没有特殊说明，二项式的下指标k都是整数(没有特殊说明，k可以取所有整数)，对于上指标，r表示所有数(整数和实数)，而n表示整数。

1、组合数定义：$\begin{pmatrix}r\\ k\end{pmatrix}=\left\{\begin{matrix}\frac{r(r-1)...(r-k+1)}{k(k-1)...(2)(1)} ; k\geq 0 \\ 0 ; k<0 \end{matrix}\right.$这里的k是整数，r可以是整数或实数。

2、$\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-(n-k))!(n-k)!}=\begin{pmatrix}n\\ n-k\end{pmatrix}$ 这里n,k是整数，且$n\geq 0$。注意这里n是有限制的。k就无所谓了，如果k小于0，两边都是0。

3、$k\begin{pmatrix}r\\ k\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}r-1\\ k-1\end{pmatrix}$,$(r-k)\begin{pmatrix}r\\ k\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}r-1\\ k\end{pmatrix}$.这个之所以对所有数成立，可以这样理解：对于第一个式子来说，两边都是关于r的k次多项式，当r取任意整数时两边的多项式都相等。两个k次多项式有无穷多个点相等，所以连个多项式恒等。第二个解释类似。

4、加法公式：$\begin{pmatrix}r\\ k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r-1\\ k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}r-1\\ k-1\end{pmatrix}$。

5、$\begin{pmatrix}r+n+1\\ n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r+n\\ n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}r+n\\ n-1\end{pmatrix} $,$\begin{pmatrix}r+n\\ n-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r+n-1\\ n-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}r+n-1\\ n-2\end{pmatrix}$,就这样每次展开后面这一项，最后得到$\begin{pmatrix}r+n+1\\ n\end{pmatrix}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}r+k\\ k\end{pmatrix}=\sum _{k\leq n}\begin{pmatrix}r+k\\ k\end{pmatrix} $。类似的道理，如果每次展开前面那一项，最后可以得到：$\begin{pmatrix}n+1\\ m+1\end{pmatrix}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}k\\ m\end{pmatrix}$

6、$\begin{pmatrix}r\\ k\end{pmatrix}=(-1)^{k}\begin{pmatrix}k-r-1\\ k\end{pmatrix}$

7、$\sum _{k\leq m}\begin{pmatrix}r\\ k\end{pmatrix}(-1)^{k}=\sum _{k\leq m}\begin{pmatrix}k-r-1\\ k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-r+m\\ m\end{pmatrix}=(-1)^{k}\begin{pmatrix}r-1\\ m\end{pmatrix}$ 第一个第三个等号运行公式6，第二个等号运用5中的第一个公式。

8、$\sum _{k\leq m}\begin{pmatrix}r\\ k\end{pmatrix}(\frac{r}{2}-k)=\sum_{k=0}^{m}\begin{pmatrix}r\\ k\end{pmatrix}(\frac{r}{2}-k)$
$=\sum_{k=0}^{m}(\begin{pmatrix}r\\ k\end{pmatrix}\frac{r}{2}-k\begin{pmatrix}r\\ k\end{pmatrix})=\sum_{k=0}^{m}(\begin{pmatrix}r\\ k\end{pmatrix}\frac{r}{2}-r\begin{pmatrix}r-1\\ k-1\end{pmatrix})$
$=\frac{r}{2}\sum_{k=0}^{m}(\begin{pmatrix}r\\ k\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}r-1\\ k-1\end{pmatrix})$
$=\frac{r}{2}\sum_{k=0}^{m}(\begin{pmatrix}r-1\\ k\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}r-1\\ k-1\end{pmatrix})$
$=\frac{r}{2}\begin{pmatrix}r-1\\ m\end{pmatrix}=\frac{m+1}{2}\begin{pmatrix}r\\ m+1\end{pmatrix}$第三个等号使用了公式3的第一个，第五个等号用到了公式四，最后一个等号用到了公式三的第一个。

9、$(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}x^{k}y^{n-k}=\sum_{k}\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}x^{k}y^{n-k}$,这里n是非负整数。

10、$\sum_{k\leq m}\begin{pmatrix}m+r\\ k\end{pmatrix}x^{k}y^{m-k}=\sum_{k\leq m}\begin{pmatrix}-r\\ k\end{pmatrix}(-x)^{k}(x+y)^{m-k}$,m是整数。
证明：首先当m为负数时，两边显然都是0.所以只需要证明m是非负整数的情况。这里r可以取所有数。我们假设r为满足$-m\leq r\leq 0$的整数，$r+m\geq 0$
$(x+y)^{m+r}y^{-r}=y^{-r}\sum_{k=0}^{m+r}\begin{pmatrix}m+r\\ k\end{pmatrix}x^{k}y^{m+r-k}=\sum_{k=0}^{m+r}\begin{pmatrix}m+r\\ k\end{pmatrix}x^{k}y^{m-k}$=左边(由公式9可知只有$r+m\geq 0$才能展开)
$(x+y)^{m+r}y^{-r}=(x+y)^{m+r}(-x+x+y)^{-r}=(x+y)^{m+r}\sum_{k=0}^{-r}\begin{pmatrix}-r\\ k\end{pmatrix}(-x)^{k}(x+y)^{-r-k}$
$=\sum_{k=0}^{-r}\begin{pmatrix}-r\\ k\end{pmatrix}(-x)^{k}(x+y)^{m-k}$=右边
所有当r取0,-1,-2,..,-m时左右两边相等，而两边都是关于r的m次多项式，但是有至少m+1个点相等，所以两边恒等。

11、在公式10中，令x=-1,y=1,可得$\sum _{k\leq m}\begin{pmatrix}m+r\\ k\end{pmatrix}(-1)^{k}=\begin{pmatrix}-r\\ m\end{pmatrix}$.如果取 x=y=1,r=m+1可得：$\sum _{k\leq m}\begin{pmatrix}2m+1\\ k\end{pmatrix}=\sum _{k\leq m}\begin{pmatrix}m+k\\ k\end{pmatrix}2^{m-k}$,由于$\sum _{k}\begin{pmatrix}2m+1\\ k\end{pmatrix}=2^{2m+1}$,所以$\sum _{k\leq m}\begin{pmatrix}2m+1\\ k\end{pmatrix}=2^{2m}$,所以$\sum _{k\leq m}\begin{pmatrix}m+k\\ k\end{pmatrix}2^{-k}=2^{m}$

12、$\begin{pmatrix}r\\ m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m\\ k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\\ k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}r-k\\ m-k\end{pmatrix}$,这个按照定义直接展开即可证明是对的。

13、$\sum _{k}\begin{pmatrix}r\\ m+k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s\\ n-k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r+s\\ m+n\end{pmatrix}$,m,n是整数。
证明：用k-m代替k，n-m代替n，可得:$\sum _{k}\begin{pmatrix}r\\ k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s\\ n-k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r+s\\ n\end{pmatrix}$,这里的n就是原来的n+m。这个式子可以从意义上来理解，它表示从r个女生中选择k个女生，从s个男生中选择n-k个男生的所有情况，就是从r+s个中选择n个。

14、$\sum _{k}\begin{pmatrix}l\\ m+k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s\\ n+k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}l+s\\ l-m+n\end{pmatrix}$,$l\geq 0$,m,n是整数。
证明：由公式2可得：$\begin{pmatrix}l\\ m+k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}l\\ l-m-k\end{pmatrix}$,这样替换后就变成了公式13.

15、$\sum _{k}\begin{pmatrix}l\\ m+k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s+k\\ n\end{pmatrix}(-1)^{k}=(-1)^{l+m}\begin{pmatrix}s-m\\ n-l\end{pmatrix},l\geq 0$,m,n是整数
证明：数学归纳法，令$f(l)=\sum _{k}\begin{pmatrix}l\\ m+k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s+k\\ n\end{pmatrix}(-1)^{k}$,l=0时除了k=-m其余都是0，所以$f(0)=\begin{pmatrix}s-m\\ n\end{pmatrix}(-1)^{m}$.假设对于小于l的所有数字$p$都有$f(p)=\begin{pmatrix}s-m\\ n-p\end{pmatrix}(-1)^{p+m}$。
$f(l)=\sum _{k}\begin{pmatrix}l\\ m+k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s+k\\ n\end{pmatrix}(-1)^{k}$
$=\sum _{k}( \begin{pmatrix}l-1\\ m+k\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}l-1\\ m+k-1\end{pmatrix})\begin{pmatrix}s+k\\ n\end{pmatrix}(-1)^{k}$
$=\sum _{k}\begin{pmatrix} l-1\\ m+k\end{pmatrix} \begin{pmatrix}s+k\\ n\end{pmatrix}(-1)^{k}+\sum _{k} \begin{pmatrix}l-1\\ m+k-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}s+k\\ n\end{pmatrix}(-1)^{k}$
$=f(l-1)+(-1)^{l+m}\begin{pmatrix}s-m+1\\ n-l+1\end{pmatrix}$
$=(-1)^{l+m-1}\begin{pmatrix}s-m\\ n-l+1\end{pmatrix}+(-1)^{l+m}\begin{pmatrix}s-m+1\\ n-l+1\end{pmatrix}$
$=(-1)^{l+m}(\begin{pmatrix}s-m+1\\ n-l+1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}s-m\\ n-l+1\end{pmatrix})$
$=(-1)^{l+m}\begin{pmatrix}s-m\\ n-l\end{pmatrix}$


16、$\sum _{k\leq l}\begin{pmatrix}l-k\\ m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s\\ k-n\end{pmatrix}(-1)^{k}=(-1)^{l+m}\begin{pmatrix}s-m-1\\ l-m-n\end{pmatrix},l,m,n\geq 0$,l,m,n都是整数。这个同样用数学归纳法，用加法公式拆开左边的第一项。

17、$\sum _{-q\leq k\leq l}\begin{pmatrix}l-k\\ m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q+k\\ n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}l+q+1\\ m+n+1\end{pmatrix},n,m\geq 0,l+q\geq 0$,都是整数。
证明：$\sum _{-q\leq k\leq l}\begin{pmatrix}l-k\\ m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q+k\\ n\end{pmatrix}$
$=\sum _{0\leq k+q\leq l+q}\begin{pmatrix}l+q-(k+q)\\ m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q+k\\ n\end{pmatrix}=\sum _{0\leq k\leq l+q}\begin{pmatrix}l+q-k\\ m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k\\ n\end{pmatrix}$,所以现在只需证明：$\sum _{0\leq k\leq l+q}\begin{pmatrix}l+q-k\\ m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k\\ n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}l+q+1\\ m+n+1\end{pmatrix},n,m\geq 0,l+q\geq 0$,令$p=l+q$，那么现在只需证明：$\sum _{0\leq k\leq p}\begin{pmatrix}p-k\\ m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k\\ n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p+1\\ m+n+1\end{pmatrix},n,m,p\geq 0$。现在用数学归纳法，用加法公式拆开第一项即可。