poj 3735 Training little cats 矩阵快速幂+稀疏矩阵乘法优化

Posted 2020-08-13 Ritchie丶

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题意：有n个猫，开始的时候每个猫都没有坚果，进行k次操作，g x表示给第x个猫一个坚果，e x表示第x个猫吃掉所有坚果，s x y表示第x个猫和第y个猫交换所有坚果，将k次操作重复进行m轮，问最后这n个猫各自有多少坚果。

题解：构造(n+1)*(n+1)的单位矩阵，data[i][j]表示第i个猫与第j个猫进行交换，最后一列的前n项就是每个猫的坚果数目，s操作就交换对应行，矩阵快速幂时间复杂度O(n^3*log2(m))会超时，我们注意到在n*n的范围内每一行只有一个1，利用稀疏矩阵的乘法优化可以优化时间复杂度至O(n^2*log2(m))。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct matrix
{
    ll data[105][105];
};
matrix ma;
ll n,m,k,x,y;
matrix multi(matrix a,matrix b)
{
    matrix c;
    memset(c.data,0,sizeof(c.data));
    for(int i=0; i<=n; i++)
    for(int j=0; j<=n; j++)
    {
        //稀疏矩阵的乘法优化
        if(a.data[i][j]) //一个数一个数加进去
        for(int k=0; k<=n; k++)
        //注意这里的ijk已经改变位置
        c.data[i][k]+=a.data[i][j]*b.data[j][k];
    }
    return c;
}
matrix init(matrix *a)
{
    memset((*a).data,0,sizeof((*a).data));
    for(int i=0;i<=n;i++)
    (*a).data[i][i]=1;
    //矩阵乘法的意义：
    //注意这里(*a).data[n][n]=1; 他的意义是继承上次操作的值
    //(*a).data[i][j]=1;继承的是交换的值 两个值加起来就是新的值
    return *a;
}
matrix pow1(matrix a,ll b)
{
    matrix ans;
    init(&ans);
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=multi(ans,a);
            b--;
        }
        b>>=1;
        a=multi(a,a);
    }
    return ans;
}
void debug(matrix ans)
{
    for(int i=0;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=n;j++)
    printf("%lld%c",ans.data[i][j],j==n?‘\n‘:‘ ‘);
}
int main()
{
    while(scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k)!=EOF)
    {
        if(n==0&&m==0&&k==0) break;
        char op[4];
        init(&ma);
        while(k--)
        {
            scanf("%s%lld",op,&x);
            x--;
            if(op[0]==‘g‘)
            {
                ma.data[x][n]++;
            }
            else if(op[0]==‘s‘)
            {
                scanf("%lld",&y);
                y--;
                for(int i=0;i<=n;i++)
                swap(ma.data[x][i],ma.data[y][i]);
            }
            else if(op[0]==‘e‘)
            {
                for(int i=0;i<=n;i++)
                ma.data[x][i]=0;
            }
        }
        matrix ans=pow1(ma,m);
        //debug(ans);
        for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%lld%c",ans.data[i][n],i==n-1?‘\n‘:‘ ‘);
    }
    return 0;
}