BZOJ2302 [HAOI2011]Problem c

Posted 2020-08-10 ljh2000

Description

给n个人安排座位，先给每个人一个1~n的编号，设第i个人的编号为ai（不同人的编号可以相同），接着从第一个人开始，大家依次入座，第i个人来了以后尝试坐到ai，如果ai被占据了，就尝试ai+1，ai+1也被占据了的话就尝试ai+2，……，如果一直尝试到第n个都不行，该安排方案就不合法。然而有m个人的编号已经确定(他们或许贿赂了你的上司...)，你只能安排剩下的人的编号，求有多少种合法的安排方案。由于答案可能很大，只需输出其除以M后的余数即可。

 

Input

第一行一个整数T，表示数据组数

对于每组数据，第一行有三个整数，分别表示n、m、M

若m不为0，则接下来一行有m对整数，p1、q1，p2、q2 ,…, pm、qm，其中第i对整数pi、qi表示第pi个人的编号必须为qi

 

Output

对于每组数据输出一行，若是有解则输出YES，后跟一个整数表示方案数mod M，注意，YES和数之间只有一个空格，否则输出NO

 

Sample Input

2

4 3 10

1 2 2 1 3 1

10 3 8882

7 9 2 9 5 10

Sample Output

YES 4

NO

HINT

100%的数据满足：1≤T≤10，1≤n≤300，0≤m≤n，2≤M≤109，1≤pi、qi≤n   且保证pi互不相同。

 

 

正解：DP+组合数学

解题报告：

　　考虑一个方案如果合法，那么对于任何一个编号i，都可以保证编号小于等于i的人数大于等于i，可以yy一下，肯定是对的，如果不满足的话直接输出NO就可以了。

　　然后我们统计一下那些固定的编号，另外的非固定的编号我们可以都视为0，因为实际上这些人是没有任何区别的而且可以随意编号。

　　我们接着统计一下前缀和，只要发现不合法了就直接break掉。

　　然后就是DP部分啦，f[i][j]表示有j个人编号小于等于i的方案数，显然i<=j，那么我们可以考虑如何从i-1转移到i。因为是从i-1转移过来，那么显然我们需要知道编号确定为i的人究竟有多少个。所以我们可以枚举这一位，也就是i，编号恰好为i的人数k。那么这个人数k显然最少为num[i]，也就是编号必须为i的人数，另外我们需要知道小于等于i的人有j个，所以同样需要枚举。j的范围是i到sum[i]（最多为sum[i]，相当于是能选编号小于等于i的最大人数）。所以上一位一共选了j-k个人（这一位新选了k个，一共是j个人），所以就可以从f[i-1][j-k]转移过来。那么这一位一共要选出k-num[i]个人编号为i，因为num[i]是必须要编号为i的人数，所以剩下的才是可供自由支配的。然后总人数呢？就是sum[i]-(j-k)也就是说这一位最多选sum[i]，上一位选了(j-k),可知这一位最多选sum[i]-num[i]-j+k个人，也就是可以自由支配的总数。所以只需要把上一位的方案数f[i-1][j-k]乘上一个组合数就可以得到这次的f[i][j]。所以我们要预处理一下组合数。记得取模！

　　代码如下：

 1 //It is made by jump~
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdio>
 6 #include <cmath>
 7 #include <algorithm>
 8 #include <ctime>
 9 #include <vector>
10 #include <queue>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 using namespace std;
14 typedef long long LL;
15 const int inf = (1<<30);
16 const int MAXN = 311;
17 #define RG register
18 int n,m,MOD;
19 int sum[MAXN],num[MAXN];
20 LL C[MAXN][MAXN];
21 LL f[MAXN][MAXN];//f[i][j]表示有j个人编号小于等于i的方案数，显然i<=j
22 
23 inline int getint()
24 {
25     RG int w=0,q=0; RG char c=getchar();
26     while((c<‘0‘ || c>‘9‘) && c!=‘-‘) c=getchar(); if(c==‘-‘) q=1,c=getchar(); 
27     while (c>=‘0‘ && c<=‘9‘) w=w*10+c-‘0‘, c=getchar(); return q ? -w : w;
28 }
29 
30 inline void work(){
31     RG int T=getint(); RG int x;
32     while(T--) {
33     memset(sum,0,sizeof(sum)); memset(num,0,sizeof(num)); memset(C,0,sizeof(C)); memset(f,0,sizeof(f));
34     n=getint();m=getint();MOD=getint(); C[0][0]=1;
35     for(RG int i=1;i<=n;i++) { C[i][0]=1;for(RG int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j],C[i][j]%=MOD; }//递推组合数
36     for(RG int i=1;i<=m;i++) x=getint(),x=getint(),num[x]++;
37     RG bool flag=true; sum[0]=n-m;//默认为编号为0
38     for(int i=1;i<=n;i++) { sum[i]=sum[i-1]+num[i]; if(sum[i]<i) { flag=false; break; } }
39     if(!flag) { printf("NO\n"); continue;}
40     f[0][0]=1;//初值
41     for(RG int i=1;i<=n;i++)
42         for(RG int j=i;j<=sum[i];j++) {//这一个编号有多少个人
43         for(RG int k=num[i];k<=j-i+1;k++)//这一个编号新选k个人，那么上一个编号选了j-k个，这一位最多j-i+1个,即上一位选了i-1个
44             f[i][j]+=f[i-1][j-k]*C[sum[i]-num[i]-j+k][k-num[i]],f[i][j]%=MOD;//一共有sum[i]-num[i]-(j-k)个人可以选，这一位必须要选的有num[i]个，然后自由选的从中选就有k-num[i]个
45         }
46     printf("YES %lld\n",f[n][n]);
47     }
48 }
49 
50 int main()
51 {
52     work();
53     return 0;
54 }