BZOJ2302 [HAOI2011]Problem c dp

Posted 2020-10-31 Mychael

题目

给n个人安排座位，先给每个人一个1~n的编号，设第i个人的编号为ai（不同人的编号可以相同），接着从第一个人开始，大家依次入座，第i个人来了以后尝试坐到ai，如果ai被占据了，就尝试ai+1，ai+1也被占据了的话就尝试ai+2，……，如果一直尝试到第n个都不行，该安排方案就不合法。然而有m个人的编号已经确定(他们或许贿赂了你的上司...)，你只能安排剩下的人的编号，求有多少种合法的安排方案。由于答案可能很大，只需输出其除以M后的余数即可。

输入格式

第一行一个整数T，表示数据组数

对于每组数据，第一行有三个整数，分别表示n、m、M

若m不为0，则接下来一行有m对整数，p1、q1，p2、q2 ,…, pm、qm，其中第i对整数pi、qi表示第pi个人的编号必须为qi

输出格式

对于每组数据输出一行，若是有解则输出YES，后跟一个整数表示方案数mod M，注意，YES和数之间只有一个空格，否则输出NO

输入样例

2

4 3 10

1 2 2 1 3 1

10 3 8882

7 9 2 9 5 10

输出样例

YES 4

NO

提示

100%的数据满足：1≤T≤10，1≤n≤300，0≤m≤n，2≤M≤109，1≤pi、qi≤n 且保证pi互不相同。

题解

容易发现其实这是插入顺序无关的
位置插入是否合法，只要看这个位置及其之后是否坐满

直接难以计算一个位置之后坐了多少
但是坐到一个位置前的人的编号一定比这个位置小
如果编号为一个位置及其之前的位置的人数小于这个位置的编号，说明前面的座位一定坐不满，那么就代表着不合法

所以我们设\(f[i][j]\)表示编号为第\(i\)个位置及其之前的人数有\(j\)人的方案数
就可以枚举\(i\)号位坐了多少人进行转移了

我们记一个\(sum[i]\)数组表示固定编号\(<=i\)的人数
并且将没有固定编号的人数记为编号\(0\)

这样子一个位置可以坐的人数就在范围\([num[i],sum[i]]\)以内了，其中\(num[i]\)指固定编号为\(i\)的人数

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<‘ ‘; puts("");
using namespace std;
const int maxn = 305,maxm = 100005,INF = 1000000000;
inline int read(){
    int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
    while (c < 48 || c > 57){if (c == ‘-‘) flag = -1; c = getchar();}
    while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}
    return out * flag;
}
int P,n,m;
LL C[maxn][maxn],f[maxn][maxn],sum[maxn],num[maxn];
void init(){
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    memset(num,0,sizeof(num));
    C[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for (int j = 1; j <= (i >> 1); j++)
            C[i][j] = C[i][i - j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % P;
    }
}
int main(){
    int T = read(),flag;
    while (T--){
        n = read(); m = read(); P = read(); flag = true;
        init(); sum[0] = n - m;
        for (int i = 1; i <= m; i++) read(),num[read()]++;
        for (int i = 1; i <= n; i++){
            sum[i] = sum[i - 1] + num[i];
            if (sum[i] < i) {flag = false; break;}
        }
        if (!flag){puts("NO"); continue;}
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++){
            for (int j = i; j <= sum[i]; j++){
                for (int k = num[i]; k <= j - i + 1; k++)
                    f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - k] * C[sum[i] - num[i] - (j - k)][k - num[i]] % P) % P;
            }
        }
        printf("YES %lld\n",f[n][n]);
    }
    return 0;
}