bzoj1019[SHOI2008]汉诺塔

Posted 2020-08-09 chty

1019: [SHOI2008]汉诺塔

Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 1427  Solved: 872
[Submit][Status][Discuss]

Description

　　汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，
大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

 

　　对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移
动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描
述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到
柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮
助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）
赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到
另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移
动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计
算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Input

　　输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操
作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

Output

　　只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。

Sample Input

3
AB BC CA BA CB AC

Sample Output

7

 

 

【题解】

这道题没有看题解，纯自己想出来的，写完之后，感觉智商提高了不少。

 

首先关于汉诺塔问题，如果策略不变，那么一定满足一个线性递推关系：f[i]=f[i-1]*a+b（证明自己yy）

 

那么我们就可以先模拟出f[1],f[2],f[3]的值，求出a=(f[3]-f[2])/(f[2]-f[1]) ,  b=f[2]-a*f[1]

 

然后线性递推即可，别忘了用long long

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdlib>
 5 #include<cmath>
 6 #include<ctime>
 7 #include<algorithm>
 8 #include<algorithm>
 9 using namespace std;
10 #define INF 99999999
11 char ch[6][2];
12 int n,stack[5][32],top[5];
13 long long f[32];
14 inline int read()
15 {
16     int x=0,f=1;  char ch=getchar();
17     while(!isdigit(ch))  {if(ch==‘-‘)  f=-1;  ch=getchar();}
18     while(isdigit(ch))  {x=x*10+ch-‘0‘;  ch=getchar();}
19     return x*f;
20 }
21 bool check(){return (!top[1]&&!top[2])||(!top[1]&&!top[3]);}
22 void work(int x)
23 {
24     memset(stack,0,sizeof(stack));
25     memset(top,0,sizeof(top));
26     for(int i=x;i;i--)  stack[1][++top[1]]=i;  
27     int last=0;
28     stack[1][0]=stack[2][0]=stack[3][0]=INF;
29     while(!check())
30     {
31         for(int i=0;i<6;i++)
32         {
33             int xx=ch[i][0]-‘A‘+1,yy=ch[i][1]-‘A‘+1;
34             if(stack[xx][top[xx]]<stack[yy][top[yy]]&&stack[xx][top[xx]]!=last)
35             {
36                 stack[yy][++top[yy]]=stack[xx][top[xx]];
37                 last=stack[xx][top[xx]];  top[xx]--;
38                 break;
39             }
40         }
41         f[x]++;
42     }
43 }
44 int main()
45 {
46     //freopen("cin.in","r",stdin);
47     //freopen("cout.out","w",stdout);
48     n=read();   
49     for(int i=0;i<6;i++)  scanf("%c%c ",&ch[i][0],&ch[i][1]);
50     f[1]=1;
51     work(2);
52     work(3);
53     int a=(f[3]-f[2])/(f[2]-f[1]),b=f[2]-a*f[1];
54     for(int i=4;i<=n;i++)  f[i]=f[i-1]*a+b;
55     printf("%lld\n",f[n]);
56     return 0;
57 }