三元环：在数集中求有多少个三元子集中的元素两两互质

Posted 2020-06-13

 

2.14在杭二参加集训，校园好美!!!QAQ

杜教在下午为大家做了上午三题的讲解和一些CF杂题的选讲，其中有在图上求所有三元环的算法。这个算法不是很复杂，但还是蛮有趣的啦QWQ

 

我们已有一些整数,记作a1,a2,...,an。我们希望求出这些数中有多个含有三个元素的子集满足题目的条件，即{ai,aj,ak}中(ai,aj)=1且(ai,ak)=1且(aj,ak)=1。

第一步，建图。将a1,a2,...an分别作为编号为1,2,...,n的点处理，且如果ai和aj互质，那么结点i和结点j之间建立一条无向边。

第二步，排序。将每个节点的度数按一定顺序排序（比如，从大到小），之后根据得到的排序将无向图调整为有向图（比如，边的方向定为从度数高的结点指向度数低的）。这样操作可以避免一下的情况:i->j->k->i。出现的情况是这的：i->j->k<-i。

第三步，枚举。先确定结点i，枚举两条i出发的边，假设分别指向j,k。若j和k之间存在边，则说明i,j,k构成了三元环，即ai,aj,ak是满足题目条件的。如此枚举便可以做到不重不漏哦。

算法的时间复杂度可以分情况证明，为O((2m)^(3/2))。