三元环讲解

Posted 2021-10-05 Jozky86

参考文章：
不常用的黑科技——「三元环」

引入

给定一张无重边，无自环的无向图，点数为n，边数为m，且n，m同阶，问有多少个无序三元组(i,j,k),使得存在：

1. 有一个连接i，j的边
2. 有一条连接j，k的边
3. 有一条链接k，i的边
   即三元环

解决方法：

首先对所有的无向图进行定向，对于任意一条边，从度数大的点连向度数小的点，当度数一样时，从编号小的点连向编号大的点

此时就得到一个有向无环图

然后枚举每一个点，将u所有到达的点v进行标记，标记为u,然后再遍历点v，枚举点v所能到达的点w，如果w存在被u访问的标记，则说明(u,v,w)是一个三元环

证明：

这里讲的很详细，我就不做赘述
不常用的黑科技——「三元环」

复杂度

$O(n+m+n\sqrt{m}+m\sqrt{m})=O(m\sqrt{m})$