三元环讲解

Posted 2021-10-19 Jozky86

参考文章：
不常用的黑科技——「三元环」

引入

给定一张无重边，无自环的无向图，点数为n，边数为m，且n，m同阶，问有多少个无序三元组(i,j,k),使得存在：

1. 有一个连接i，j的边
2. 有一条连接j，k的边
3. 有一条链接k，i的边
   即三元环

解决方法：

首先对所有的无向图进行定向，对于任意一条边，从度数大的点连向度数小的点，当度数一样时，从编号小的点连向编号大的点

此时就得到一个有向无环图

然后枚举每一个点，将u所有到达的点v进行标记，标记为u,然后再遍历点v，枚举点v所能到达的点w，如果w存在被u访问的标记，则说明(u,v,w)是一个三元环

证明：

这里讲的很详细，我就不做赘述
不常用的黑科技——「三元环」

复杂度

$O(n+m+n\sqrt{m}+m\sqrt{m})=O(m\sqrt{m})$

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
vector<int> g[N];
int deg[N], vis[N], n, m, ans;
struct E { int u, v; } e[N * 3];
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1 ; i <= m ; ++ i) {
        scanf("%d%d", &e[i].u, &e[i].v);
        ++ deg[e[i].u], ++ deg[e[i].v];
    }
    for(int i = 1 ; i <= m ; ++ i) {
        int u = e[i].u, v = e[i].v;
        if(deg[u] < deg[v] || (deg[u] == deg[v] && u > v)) swap(u, v);
        g[u].push_back(v);
    }
    for(int x = 1 ; x <= n ; ++ x) {
        for(auto y: g[x]) vis[y] = x;
        for(auto y: g[x])
            for(auto z: g[y])
                if(vis[z] == x)
                    ++ ans;
    }
    printf("%d\\n", ans);
}