竞赛图如何构造三元环

Posted 2020-08-09

讲解视频

一场NOIp模拟赛的T3里看到的一个东西，因为那道题目不开放评测，所以简单写一下。

 

假设存在这样一张竞赛图，其中存在这样一个环

$node_a \rightarrow node_b \rightarrow node_c \rightarrow node_d \rightarrow node_e \rightarrow node_a$

 

首先明确，这是一个竞赛图，对于任意的$node_a$和$node_b$，要么存在$node_a \rightarrow node_b$要么存在$node_b \rightarrow node_a$。

 

我们的目标是在一个竞赛图中构造三元环，根据这个方法，我们就可以使用$Tarjan$算法把任意大小的环构造成三元环。

 

一些具体的步骤

定义环的大小为$tol$,那么上述的环$tol=5$，目标是把$tol$变为3，一个方法是在环中找到一个$tol=3$的环，一个方法是不断删点，最终删到$tol=3$

 

我们同时进行这两个方法。

再回到上面的性质：

对于任意的$node_a$和$node_b$，要么存在$node_a \rightarrow node_b$要么存在$node_b \rightarrow node_a$

首先对于$node_a \rightarrow node_b \rightarrow node_c$

必定存在$node_a \rightarrow node_c$或者 $node_c \rightarrow node_a$

 

对于第一个，我们可以将$tol--$,对于第二个,显然找到了一个$tol=3$的环，

然后继续执行下去就行了。