三元环计数

Posted 2022-06-24 morning-glory

也许更好的阅读体验

问题描述

给一张\(n\)个点，\(m\)条边的简单无向图，求解有多少个三元环
三元环：一个三元组\(\left(i,j,k\right)\)表示三个点，要求存在边\(\left(i,j\right),\left(i,k\right),\left(j,k\right)\)

---

解决方法

定义点的大小

我们先把每个点\(i\)定义一个双关键字\(\left(deg_i,id_i\right)\)，其中\(deg_i,id_i\)分别表示\(i\)点的度数与编号，这样每个点就有了严格的大小关系

转为有向图

然后我们将这张无向图转变为有向图：把所有的边\(\left(i,j\right)\)改为由关键字大的点向关键字小的点连边，这样我们就可以得到一张有向无环图

找环

找环分为三步

• 枚举一个点\(i\)，将所有出边所连接的点标记为\(i\)
• 枚举一个由\(i\)连出的点\(j\)
• 枚举所有由\(j\)连出的点\(k\)，若\(k\)有标记了且该标记为\(i\)，就表明找到了一个三元环

这样做就保证了每个环只会被\(i\)所找到
时间复杂度，最高为\(O\left(m\sqrtm\right)\)

如有哪里讲得不是很明白或是有错误，欢迎指正
如您喜欢的话不妨点个赞收藏一下吧