P4619 [SDOI2018]旧试题（莫比乌斯反演，建图优化三重枚举，三元环计数，神仙好题，超级清晰易懂）

Posted 2021-06-29 繁凡さん

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P4619 [SDOI2018]旧试题（莫比乌斯反演，三元环计数）

Problem

计算：

$$\sum _{i=1}^A\sum _{j=1}^B\sum _{k=1}^{C}d(ijk)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(10^9+7)$$

其中 $d(ijk)$ 表示 $i\times j\times k$ 的约数个数

$1\le T\le 10,1\le A,B,C\le 10^5,1\le \sum \max (A,B,C)\le 2\times 10^5$

Solution

首先，我们先来一波经典反演：

第一步的结论证明：SDOI2015 约数个数和（莫比乌斯反演经典、双上限整除分块）

好耶，基础的反演到此结束，接下来才是重头戏。

首先我们显然可以根据输入的 $A,B,C$ 在 $O(nlogn)$ 下预处理出来所有可能需要用到的 $g(\lfloor \frac{A}{\text{lcm}(d_1,d_3)}\rfloor )，g(\frac{B}{\text{lcm}(d_2,d_1)})，g(\frac{C}{\text{lcm}(d_2,d_3)})$

然后发现我们反演的出来的这个式子直接去计算的话需要 $O(n^3)$ 三重枚举，根本没法计算。

考虑优化。

显然如果我们直接 $O(n^3)$ 三重枚举的话，会枚举到很多权值为 $0$ 的 $d_1,d_2,d_3$，即无贡献的无效枚举。

显然无效的贡献有：

• 枚举到的 $d_1,d_2,d_3$ 不合法
  即$\text{lcm}(d_1,d_2)>A\Rightarrow \lfloor \frac{A}{\text{lcm}(d_1,d_2)}\rfloor =0$

• $\mu (d_1)=0\mid \mid \mu (d_2)=0\mid \mid \mu (d_3)=0$

我们顺着这个思路去走，我们能不能只枚举合法的 $d_1,d_2,d_3$，即同时满足 $\mu (d_1)\ne 0$，$\mu (d_2)\ne 0$，$\mu (d_3)=0$，$\text{lcm}(d_1,d_2)\le \max (A,B,C)$，$\text{lcm}(d_2,d_3)\le \max (A,B,C)$，$\text{lcm}(d_1,d_3)\le \max (A,B,C)$

所以我们进行大胆的尝试：建图减少无效的枚举！

将任意两个合法的点 $u,v$ （其中 $u,v\in [1,\max (A,B,C)]$）连边！

即任意两个合法的点 $u,v$：$\mu (u$

以上是关于P4619 [SDOI2018]旧试题（莫比乌斯反演，建图优化三重枚举，三元环计数，神仙好题，超级清晰易懂）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

P4619 [SDOI2018]旧试题

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