黑科技之三元环讲解

Posted 2021-01-28 khada-jhin

三元环是一个不怎么常见的黑科技，它的求解方法是一种基于分块思想的方法，比较简单好写，在这里介绍一下三元环的计数方法及正确性与时间复杂度证明。

对于一个n个点m条边的无向图，三元环是指对于图上的三个点，两两点之间都直接有边相连，这三个点组成的环就是三元环。

三元环的计数方法：记录图中每个点的度数，对于每条边将它定向。对于一条边，将度数大的点指向度数小的点，如果度数相同就将编号小的点指向编号大的点。计数时枚举每个点，对于每个点x枚举它的出边，并将出边指向的点y打标记，对于所有出边指向的点y再枚举出边，如果这个出边指向的点z被打了标记，那么x,y,z就组成了一个三元环。时间复杂度为O(m√m)。

对于这个方法只需要证明三点：

1、将边定向后的图是有向无环图(DAG)

这个很好证明，因为按照上述定向规则，我们称x连向y表示x比y大，那么任意两个点的大小关系是固定的，每个点只会向比它小的点连边，所以一定构成了有向无环图。

2、每个三元环只会被统计一次

 

如图所示，因为三元环上的边是定向的，而且每个点只会枚举出边，所以每个三元环被统计的情况是唯一的。

3、时间复杂度为O(m√m)

考虑时间复杂度分为两部分：一部分为每个点枚举出边，另一部分为每个出边指向的点枚举出边。

第一部分时间复杂度显然为O(n+m)，而第二部分我们分类讨论：

如果一个点的出度大于√m，指向它的点出度一定要比它大，这样的点最多√m个，时间复杂度为O(m√m)

如果一个点的出度小于√m，指向他的点最多有n个，时间复杂度为O(n√m)

综上所述，时间复杂度为O(m√m)

三元环的题只找到了三道：

BZOJ3498

BZOJ5407

BZOJ5206