bzoj1010[HNOI2008]玩具装箱toy

Posted 2020-08-08 chty

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5  4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

 

 

 

【题解】

 

看到题很容易想到动态规划。

 

用f[i]表示装前i个玩具所需的费用，sum数组维护前缀和。

 

状态转移方程：f[i]=min{f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-l)^2}  (0<j<i)

 

如果在维护前缀和时令sum[i]=sum[i-1]+a[i]+i, 设c=l+1

 

那么则有:f[i]=min{f[j]+(sum[i]-sum[j]-c)^2}  (0<j<i)

 

如果拆开平方就会出现sum[i]*sum[j]这样的项，那么我们考虑斜率优化。

 

假设k~i比j~i更优，则f[k]+sum[i]^2+sum[k]^2+c^2-2sum[i]sum[k]-2c*sum[i]-2c*sum[k]<f[j]+sum[i]^2+sum[j]^2+c^2-2sum[i]sum[j]-2c*sum[i]-2c*sum[j];

 

化简得：(f[k]-f[j]+sum[k]^2-sum[j]^2)/(sum[k]-sum[j])<2(sum[i]-c)

 

这就是斜率表达式了，接下来就是套路。。。。。。

 

注意用long long，否则会爆掉。（被这个坑了，一直wa）

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<ctime>
 7 #include<cstdlib>
 8 using namespace std;
 9 long long n,l,c,a[50010],sum[50010],q[50010],f[50010];
10 inline int read()
11 {
12     int x=0,f=1;  char ch=getchar();
13     while(!isdigit(ch))  {if(ch==‘-‘)  f=-1;  ch=getchar();}
14     while(isdigit(ch))  {x=x*10+ch-‘0‘;  ch=getchar();}
15     return x*f;
16 }
17 double slop(int x,int y)   //计算斜率
18 {return (f[x]-f[y]+sum[x]*sum[x]-sum[y]*sum[y])*1.0/(sum[x]-sum[y]);}
19 int main()
20 {
21     n=read();  l=read();  c=l+1;
22     for(int i=1;i<=n;i++)  a[i]=read();
23     for(int i=1;i<=n;i++)  sum[i]=sum[i-1]+a[i];
24     for(int i=1;i<=n;i++)  sum[i]+=i;
25     int l=0,r=0;
26     for(int i=1;i<=n;i++)
27     {
28         while(l<r&&slop(q[l],q[l+1])<=2*(sum[i]-c))  l++;
29         int t=q[l];
30         f[i]=f[t]+(sum[i]-sum[t]-c)*(sum[i]-sum[t]-c);
31         while(l<r&&slop(q[r],i)<slop(q[r-1],q[r]))  r--;
32         q[++r]=i;
33     }
34     printf("%lld\n",f[n]);
35     return 0;
36 }