学习拓展中国剩余定理小结

Posted 2022-10-24 rainbowcrown

前言

话说中国剩余定理好早就会了，但是一直木有接触过拓展的。
只知道它是个什么东东。
最近似乎需要它了，稍微学了学，似乎还挺简单的。
小结一下~

简介

中国剩余定理我们都懂吧？
而拓展则是把它后面的模数变成一个非质数，（当然，各个方程的模数互质）。
然后求出最小的x的解。

做法

似乎拓展之后很难用原来的套路来搞了。
怎么办？
我们发现，我们可以利用一些奇怪的推柿子大法来合并柿子。

考虑合并一下两个柿子：
\(x \equiv c1 (mod\ m1)\)
\(x \equiv c2 (mod\ m2)\)
转化一下：
\(x=c1+m1*k1\)
\(x=c2+m2*k2\)
合并、移项
\(m1*k1=c2-c1+m2*k2\)
设\(g=gcd(m1,m2)\)
柿子两边同除g得：
\(\fracm1g*k1=\fracc2-c1g+\fracm2g*k2\)
我们考虑转化一下：
\(\fracm1g*k1 \equiv \fracc2-c1g (mod\ \fracm2g)\)
当然，这个时候我们发现，\(\fracc2-c1g\)这条柿子一定要是整数，否则就有小数了，判断一下。
于是，现在我们已经去掉了一个k2了，但是左边依然很不优美，接下来考虑化简一波。
设\(ny()\)表示求逆元。
\(k1\equiv ny(\fracm1g)*\fracc2-c1g (mod\ \fracm2g)\)
\(k1=ny(\fracm1g)*\fracc2-c1g+\fracm2g*y\)
还记得这条柿子吗？
\(x=c1+m1*k1\)
于是我们把\(k1\)带回去
\(x=c1+ny(\fracm1g)*\fracc2-c1g*m1+\fracm2*m1g*y\)
去掉y就变成：
\(x \equiv c1+ny(\fracm1g)*\fracc2-c1g*m1 (mod\ \fracm2*m1g)\)
不就实现了合并吗？
然后逆元求解可以利用我们的拓展欧几里得。
当然要注意的一点是：小心爆longlong，可能需要用到龟速乘。

应用

例题：（最近做的一道）
Comet OJ - Contest #10 鱼跃龙门


怎么做？
考虑把某个n给分解质因数。
\(n=q_1^p_1*q_2^p_2*……*q_m^p_m\)
考虑m=1的情况：
x只可能是：\(y*q_m^p_m\)或是\(y*q_m^p_m-1\)
然后m的个数不可能超过12。
因此，我们考虑直接枚举每种质因子是\(y*q_m^p_m\)还是\(y*q_m^p_m-1\)。
然后联立方程式，利用拓展中国剩余定理求解即可。
时间复杂度：\(O(2^12*12*log)\)
然鹅这题比较逗比的是，用这种做法会爆longlong，然后就要打龟速乘。
而时间有很紧，因此要卡卡常。
这也是为什么我比赛T了17次没切的原因QWQ。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int t;
long long zs[1000011],bz[1000011],p[1000011],flag[1000011];
long long n,x,y,gs,mi[21],m[21],c[21],ans;
bool bzz;

long long gcd(long long a,long long b)

    if (b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);

long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)

    if (b==0)
    
        x=1;y=0;return a;
    
    else
    
        long long d=a/b; 
        long long c=exgcd(b,a-b*d,x,y);
        long long z=x;
        x=y;y=z-d*y;
        return c;
    

long long ny(long long a,long long b)

    long long z=exgcd(a,b,x,y);
    while (x<0)
    
        x+=b;
    
    return x;


long long cheng(long long a,long long b,long long mo)

    long long t=0;
    while(b)
    
        t=(t+a*(b&1023))%mo;
        b>>=10;
        a=a*1024%mo; 
    
    return t;


#define R register
int main()

    mi[0]=1;
    for (int i=1;i<=20;i++)
    
        mi[i]=mi[i-1]*2;
    
    for (int i=2;i<=1000000;i++)
       
        if (bz[i]==0)
        
            zs[0]++;
            zs[zs[0]]=i;
            for (int j=1;j*i<=1000000;j++)
            
                bz[j*i]=1;
            
        
    
    scanf("%d",&t);
    while (t>0)
    
        t--;
        scanf("%lld",&n);
        if (n==1)
        
            printf("1\n");
            continue;
        
        long long j=0;
        gs=0;
        flag[1]=0;
        for (int i=1;i<=zs[0];i++)
        
            if (n%zs[i]==0)
            
                gs++;
                p[gs]=1;    
                if (zs[i]==2)
                   
                    flag[1]=1;
                
            
            while (n%zs[i]==0)
            
                p[gs]=p[gs]*zs[i];
                n=n/zs[i];
            
            if (zs[i]>n)
            
                break;
            
        
        if (n>1)
        
            gs++;
            p[gs]=n;    
        
        ans=20000000000000000;
        for (int i=1;i<=mi[gs]-1;i++)
        
            long long j=i;
            memset(m,0,sizeof(m));
            memset(c,0,sizeof(c));
            int k=1;
            while (j>0)
            
                if (flag[k]==1)
                
                    m[k]=p[k]*2;
                
                else m[k]=p[k];
                if (j%2==1)
                
                    c[k]=m[k]-1;
                
                else c[k]=0;
                k++;j=j/2;
            
            for (int j=k;j<=gs;j++)
            
                if (flag[j]==1)
                
                    m[j]=p[j]*2;
                
                else m[j]=p[j];
                c[j]=0;
            
            bzz=true;
            for (R long long j=2;j<=gs;j++)
            
                R long long m1(m[j-1]),m2(m[j])
                ,c1(c[j-1]),c2(c[j])
                ,T(gcd(m1,m2))
                ,mo(m2/T);
                if ((c2-c1)%T!=0) 
                
                    bzz=false;break;
                
                m[j]=(m1*m2)/T;
                R long long op(ny(m1/T,mo)),oq(c2-c1),kk(ny(T,mo));
                if (op>1000000000 && oq>1000000000)
                c[j]=(cheng(oq,op,mo)*kk)%mo*m1+c1;
                else
                c[j]=(oq*kk%mo*op)%mo*m1+c1;
                
                c[j]=c[j]%m[j];
                if(c[j]<0)c[j]+=m[j];
            
            if (bzz==true)
            
                ans=min(ans,c[gs]);
            
        
        printf("%lld\n",ans);