excrt(拓展中国剩余定理)

Posted 2022-05-06 oierglh

对于一个同余方程

对于第一个和第二个式子

则有：

ans=a1?+k1?∗n1?

ans=a2?+k2?∗n2?

就有：

a1?+k1?∗n1?=a2?+k2?∗n2?

k1?∗n1?−k2?∗n2?=a2?−a1?

故我们设c=a2?−a1? 再变化一下形式就有：

k1?∗n1?+(−k2?)∗n2?=c

令 gcd=gcd(n1?,n2?)

这样我们就可以通过exgcd来求出一组解x1?,y1?

满足 x1?∗n1?+y2?∗n2?=gcd

故：x1?∗d/g∗n1?+y2?∗d/g∗n2?=g∗c/gcd

则： k1?=x1?∗c/gcd,k2?=y1?∗c/gcd

从而得到一组通解((k1+q)*n1+(k2-p)*n2=c)

k1?=k1+q=k1?+n2/gcd∗T

k2?=k2-p=k2?−n1/gcd∗T

要使所求得的解最小且为正整数则可以根据 k1? 的通解形式求得

mink1?=(k1?%(n2?/gcd)+n2?/gcd)%(n2?/gcd)

再带入ans=a1?+mink1?∗n1? 得到 ans

令 A 为合并后的 a , N 为合并后的 n

所以N=lcm(n1?,n2?)=n1?∗n2?/gcd

根据ans≡A (mod N) 且 ans 是满足该式子最小的值

得到： A=ans

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll __int128
ll ans,a[100010],n[100010],N,a1,a2,n1,n2,c,gcd,x,y;
long long read()

    ll f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<‘0‘||ss>‘9‘)if(ss==‘-‘)f=-1;ss=getchar();
    while(ss>=‘0‘&&ss<=‘9‘)x=x*10+ss-‘0‘;ss=getchar();
    return f*x;

void exgcd(ll aa,ll bb,ll &gcd,ll &x,ll &y)

    if(!bb) 
    
        gcd=aa;
        x=1,y=0;
        return;
    
    exgcd(bb,aa%bb,gcd,x,y);
    ll tr=x;
    x=y;
    y=tr-aa/bb*y;

long long zs()

    a1=a[1],n1=n[1];
    for(ll i=2;i<=N;i++)
    
        a2=a[i],n2=n[i];
        c=a2-a1;
        exgcd(n1,n2,gcd,x,y);//n1*x+n2*y=gcd(n1,n2)的解 
        if(c%gcd==0) 
        
            ll k1=x*c/gcd;//n1*k1+n2*k2=c的解 
            ll mink1=(k1%(n2/gcd)+(n2/gcd))%(n2/gcd);//k1通解：k1=k1+(n2/gcd)*t
            ans=mink1*n1+a1;//这2个方程的解 
            //合并2个方程 
            n1=(n1*n2)/gcd;
            a1=ans;
        
        else return -1;
    
    return ans;

int main()

    N=read();
    for(ll i=1;i<=N;i++)
        n[i]=read(),a[i]=read();
    cout<<zs();
    return 0;

部分参考来自https://www.luogu.org/blog/sumijie/solution-p4777。