中国剩余定理及其拓展

Posted ljc20020730

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了中国剩余定理及其拓展相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

中国剩余定理及其拓展

中国剩余定理CRT引例:(选自孙子兵法)

今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?

怎么考虑这个问题?

按照题意:

设答案为x,则有

x≡2(mod 3)

x≡3(mod 5)

x≡2(mod 7)

就是求x的最小值

不难发现线性同余方程组的定义就是形如:

x≡a1(mod m1)

x≡a2(mod m2)

x≡a3(mod m3)

………………………….

x≡ak(mod mk)

的方程

Sol:

先看看解法:我们再来想想为什么是正确的。

l  Step1:从5和7的公倍数中找出一个数n1使得n1≡1(mod 3)可知n1(min)=70

l  Step2:从3和7的公倍数中找出一个数n2使得n2≡1(mod 5)可知n2(min)=21

l  Step3:从3和5的公倍数中找出一个数n3使得n3≡1(mod 7)可知n3(min)=15

l  Step4:令Ans‘=a1 * n1 + a2 * n2 + a3 * n3 = 2 * 70 + 3 * 21 + 15 * 2 = 233

l  Step5:答案Ans(min)=Ans’%lcm(3,5,7)=233%105=23

正确性证明:

我们试图说明这样解法的正确性。

首先我们先证明几个引理。

引理1:若有a≡c(mod b)则有a+kb≡c(mod b)k∈Z

              转化一下:若a % b = c那么必有(a+k*b)% b = c

           证明是及其简单的:等式右边 =(a+k*b)% b = a % b+(kb)% b = a%b=等式左边

              这句话翻译为人话是这样的:如果一个除法运算的余数为c,那么被除数与k倍的除数相加(或相减)的和(差)再与除数相除,余数不变。

引理2:若a≡c(mod b)则有 (a*k) ≡ kc(mod b)k∈Z

        转化一下:a%b=c那么( a*k ) % b=k*c 其中k∈Z

证明也是显然的:( a*k ) % b = a%b +a%b +….+a%b=c+c+……+c=k*c k∈N*

我们现在来考虑孙子怎么考虑这个问题。

我们设置:

l  n1是满足除以3余2的一个数,就是n1=3k+2 其中k∈N

l  n2是满足除以5余3的一个数,就是n1=5k+3 其中k∈N

l  n3是满足除以7余2的一个数,就是n1=7k+2 其中k∈N

(显然此k非彼k)

由引理1可知:

如果n2是3的倍数那么要使n1+n2 满足 除以3余2那么显然n1需要是3的倍数。

 

按照这个道理现在n1+n2已经除以3余2要想n1+n2+n3除以 3 余2那么n3必须是3的倍数

 

于是我们可以推出这样三点:

  1. 要使n1+n2+n3 满足 除以3余2,n2和n3必须是3的倍数
  2. 要使n1+n2+n3 满足 除以5余3,n1和n3必须是5的倍数
  3. 要使n1+n2+n3 满足 除以7余2,n2和n3必须是7的倍数

再次结合上面对于n1,n2,n3的定义

  1. n1是满足除以3余2的一个数,就是n1=3k+2 其中k∈N
  2. n2是满足除以5余3的一个数,就是n1=5k+3 其中k∈N
  3. n3是满足除以7余2的一个数,就是n1=7k+2 其中k∈N

可知

  1. n1除以3余2,且是5和7的公倍数。
  2. n2除以5余3,且是3和7的公倍数。
  3. n3除以7余2,且是3和5的公倍数。

我们如果找出n1,n2,n3那么这个问题就解决了。

我们设 n1=5*7*k=35k,

解同余方程35k≡2(mod 3)那就是求35k‘≡1(mod 3)的两倍

显然就是35关于3的逆元就可以求出k‘,

就可以求出k=2k‘,从而求出n1=5*7*2*k’

如此类推就可以知道n2和n3 的值

那么就是n2=3*7*3*k‘, n3=3*5*2*k‘

然后求出Ans’=n1+n2+n3,(只是一个解而不是最小解)

然后我们要用到引理1了:若a % b = c那么必有(a+k*b)% b = c

若k为负数,那么我们不停的减去lcm(3,5,7)就可以得出最优解。

Ans= Ans’ % lcm(3,5,7)

总结

好了我们总结一下方法

解线性同余方程:

x≡a1(mod m1)

x≡a2(mod m2)

x≡a3(mod m3)

………………………….

x≡ak(mod mk)

其中满足{x|x=mi,i=1,2,3…k} ⊆{Prime}

的方法:

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上面是一个特例,由于我们要求逆元inv那么必须所有的mi都要是质数,其中满足{x|x=mi,i=1,2,3…k} ⊆{Prime},多少有很大的不实用性,由于我们有扩展欧几里得算法

可以求出ax+by=gcd(a,b)的最小正整数解,这就要用到中国剩余定理扩展。

中国剩余定理扩展EXCRT —— 求解模数不互质情况下的线性方程组

其实比上面更加简单。

我们考虑两个同余方程:

x≡a1(mod m1)

x≡a2(mod m2)

必然可以表示成这样的形式

                              x=a1+m1x1

                              x=a2+m2x2

联立可知:    a1 + m1x1 = x = a2 + m2x2

那么这里x1和x2是未知数,就是

m1x1-m2x2=a2-a1

可以解出来x1(最小),带回到 x的一个特解x‘

这个x’显然可以满足

x≡a1(mod m1)

x≡a2(mod m2)

然后组成这样的新的同余方程

                              x≡x‘(mod lcm(m1,m2))

然后就可以解出最终解出x

以上是关于中国剩余定理及其拓展的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

[数论]拓展中国剩余定理

学习拓展中国剩余定理小结

拓展中国剩余定理(exCRT)摘要

拓展中国剩余定理(ex_crt)

表达整数的奇怪方式(拓展中国剩余定理)

excrt(拓展中国剩余定理)