拓展中国剩余定理（exCRT）摘要

Posted 2021-01-13 axjcy

清除一个误区

虽然中国剩余定理和拓展中国剩余定理只差两个字，但他俩的解法相差十万八千里，所以会不会CRT无所谓

用途

求类似$$egin{cases}x equiv b_{1}pmod{a_{1}} \x equiv b_{2}pmod{a_{2}} \...\x equiv b_{n}pmod{a_{n}} \ end{cases}$$的线性同余方程组的解

具体过程

假设现在我们只有两个同余方程$$x equiv b_{1}pmod{a_{1}}$$ $$x equiv b_{2}pmod{a_{2}}$$

改写它们得$$x=a_{1}k_{1}+b_{1}                  ①$$ $$x=a_{2}k_{2}+b_{2}$$

联立$$a_{1}k_{1}+b_{1}=a_{2}k_{2}+b_{2}$$

所以$$a_{1}k_{1}=b_{2}-b_{1}+a_{2}k_{2}$$

记$$c=gcd(a_{1},a_{2})$$ $$d_{1}=frac{a_{1}}{c}$$ $$d_{2}=frac{a_{2}}{c}$$

两边同除以$c$得$$d_{1}k_{1}=frac{b_{2}-b_{1}}{c}+d_{2}k_{2}$$

即$$d_{1}k_{1} equiv frac{b_{2}-b_{1}}{c}\%d_{2}pmod{d_{2}}$$

显然，方程组有解的条件是$c|(b_{2}-b_{1})$

为什么要在这个时候取模$\%d_{2}$？因为之后取模的时候模数和被模数已经不互质了

记$d_{1}$在模$d_{2}$意义下的逆元为$p$，两边同乘$p$得$$k_{1} equiv frac{p(b_{2}-b_{1})}{c}\%d_{2} pmod{d_{2}}$$

即$$k_{1} = frac{p(b_{2}-b_{1})}{c}\%d_{2}+d_{2}*y$$

带入①式得$$x=frac{p(b_{2}-b_{1})}{c}\%d_{2}*a_{1}+d_{2}a_{1}y+b_{1}$$

即$$x equiv frac{p(b_{2}-b_{1})}{c}\%d_{2}*a_{1}+b_{1}pmod{a_{1}d_{2}}$$

注意，上式中的$a_{1}$万万不可乘到$\%d_{2}$前面

所以我们就弄出了一个新的同余方程。这个方程也可以写成$$x equiv b pmod a$$其中$$b=(inv(frac{a_{1}}{(a_{1},a_{2})},frac{a_{2}}{(a_{1},a_{2})})*frac{b_{2}-b_{1}}{(a_{1},a_{2})}\%frac{a_{2}}{(a_{1},a_{2})}*a_{1}+b_{1})$$ $$a=frac{a_{1}a_{2}}{(a_{1},a_{2})}$$

其中$inv(m,n)$表示$m$在模$n$意义下的逆元，$(m,n)$表示$m$和$n$的最大公约数

然后把新求出的方程和后面的方程联立，迭代求解，直到只剩一个方程

精度问题

毫无疑问的是，在求解方程组的时候很容易爆$long long$，那该怎么办呢？

__int128 快（龟）速（速）乘（乘）是个不错的主意。

何为快速乘？

就是一种和快速幂类似的东西，利用二进制在log时间内求出两个数相乘对另一个数取模的结果并且不会爆long long

但要注意的是，千万不要让负数出现在快速乘里面，尤其是被拆分的那个乘数，会死循环的

1 int mul(int x,int k,int mod) {
2     ll ans=0;
3     while(k) {
4         if(k&1)(ans+=x)%=mod;
5         k>>=1;
6         (x<<=1)%=mod;
7     }
8     return ans;
9 }

快速乘

题目

洛谷【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define INF 0x7fffffff
 4 #define ME 0x7f
 5 #define FO(s) freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout)
 6 #define fui(i,a,b,c) for(int i=(a);i<=(b);i+=(c))
 7 #define fdi(i,a,b,c) for(int i=(a);i>=(b);i-=(c))
 8 #define fel(i,a) for(register int i=hd[a];i;i=dg[i].nxt)
 9 #define ll long long
10 #define int long long
11 #define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
12 #define maxn 100010
13 ll n;
14 ll a[maxn],b[maxn],a0,b0;
15 template<class T>
16 inline T read(T &n){
17     n=0;int t=1;double x=10;char ch;
18     for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!=‘-‘;ch=getchar());(ch==‘-‘)?t=-1:n=ch-‘0‘;
19     for(ch=getchar();isdigit(ch);ch=getchar()) n=n*10+ch-‘0‘;
20     if(ch==‘.‘) for(ch=getchar();isdigit(ch);ch=getchar()) n+=(ch-‘0‘)/x,x*=10;
21     return (n*=t);
22 }
23 template<class T>
24 T write(T n){
25     if(n<0) putchar(‘-‘),n=-n;
26     if(n>=10) write(n/10);putchar(n%10+‘0‘);return n;
27 }
28 template<class T>
29 T writeln(T n){write(n);putchar(‘
‘);return n;}
30 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
31     if(!b)return a+((x=1)*(y=0));
32     int xx,yx,z;z=exgcd(b,a%b,xx,yx);
33     x=yx,y=xx-a/b*yx;return z;
34 }
35 int gcd(int a,int b){if(!b)return a;return gcd(b,a%b);}
36 int mul(int x,int k,int mod){
37     ll ans=0;
38     while(k){
39         if(k&1)(ans+=x)%=mod;
40         k>>=1;
41         (x<<=1)%=mod;
42     }
43     return ans;
44 }
45 signed main(){
46     read(n);
47     fui(i,1,n,1)read(a[i]),read(b[i]);
48     a0=a[1],b0=b[1];
49     fui(i,2,n,1){
50         int c=gcd(a0,a[i]),d1=a0/c,d2=a[i]/c,p,x,y;
51         int a1=a0,a2=a[i],b1=b0,b2=b[i];
52         if(((b2-b1)/c*c)^(b2-b1))return 0*writeln(-1);
53         exgcd(d1,d2,p,y);((p%=d2)+=d2)%=d2;
54         x=mul(p,(((b2-b1)/c)%d2+d2)%d2,d2)*a1+b1;
55         y=a1*d2;b0=x,a0=y;((b0%=a0)+=a0)%=a0;
56     }
57     int x,y;exgcd(1,a0,x,y);
58     ((x%=a0)+=a0)%=a0;
59     x=mul(x,b0,a0);
60     writeln(x);
61     return 0;
62 }

AC代码

 好像还有NOI2018屠龙勇士？23333先等我去A掉它