[数论]拓展中国剩余定理

Posted 2022-08-09 mmminoz

拓展中国剩余定理

•拓展中国剩余定理

拓展中国剩余定理是用来解同余方程

$\begincasesx\equiv c_1\left( mod\ m_1\right) \\ x\equiv c_2\left( mod\ m_2\right) \\ \ldots \\ x\equiv c_n\left( mod\ m_n\right) \endcases$

ps.如果m₁,m₂,m₃...m_n两两互素的话，可以用中国剩余定理来求

假设

$x\equiv c_1 (mod \ m_1)$  ①

$x\equiv c_1 (mod \ m_2)$  ②

则

$x=c_1+m_1k_1$  ③

$x=c_2+m_1k_2$  ④

③=④得 $m_1k_1=c_2-c_1+m_2k_2$  ⑤

设$t=gcd(m1,m2)$

⑤两边同时除以t 得

$\fracm_1k_1t=\fracc_2-c_1t+\fracm_2k_2t$ ⑥

$k_1\fracm_1t=\fracc_2-c_1t(mod \  \fracm_2t)$ ⑦