浅谈模质数意义下的乘法逆元

Posted 2022-06-26 kkkstra

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参考文章www.luogu.org/blog/zyxxs/post-xiao-yi-jiang-tan-qian-tan-sheng-fa-ni-yuan

什么是乘法逆元

若整数\(b,m\)互质，并且\(b|a\)，若存在一个整数\(x\)，使得\(a / b \equiv a \ast x (mod \text m)\)，称\(x\)为 \(b\)的模\(m\)乘法逆元。

乘法逆元的用处

有时候，我们需要求\(a/b \text mod \text p\)，用朴素的方法，我们只能在\(a\)上不断加\(p\)，直到它能被 bb 整除为止，当\(a,b,p\)都很大的时候，自然是凉凉了。这时，我们就可以用逆元方便的求解了。

乘法逆元的求法

进入到了本文最关键的部分，如何求乘法逆元?

费马小定理

费马小定理：当\(p\)是质数的时候，$a^p-1 \equiv 1 (mod \text p) $

那么将\(a^p-1\)拆开来，就得到了\(a \ast a^p-2 \equiv (mod \text p)\)

所以，\(a^p-2\)就是\(a\)模\(p\)意义下的乘法逆元。

缺点：用快速幂计算，当\(p\)比较大的时候，速度比较慢。

代码：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n, p;

ll ksm(ll a, ll b)

    ll ans = 1;
    for (; b; b >>= 1) 
        if (b & 1)
            ans = ans * a % p;
        a = a * a % p;
    
    return ans;


int main()

    freopen("a.in", "r", stdin);
    freopen("a.out", "w", stdout);
    cin >> n >> p;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        printf("%lld\n", ksm(i, p - 2));
    
    return 0;

扩展欧几里得算法

求\(a \ast x \equiv 1 (mod \text m)\)的解\(inv(x)\)，等价于求解\(a \ast x + b \ast y =1\)。用扩展欧几里得算法求出一组特解\(x_0, y_0\)，则\(x_0\)是原方程的一个解，而方程的通解则为所有模\(m\)与\(x_0\)同余的整数，通过取模操作把解的范围移动到\(1～p\)之间即可。

代码：

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n, p;

void exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)

    if (b == 0) 
        x = 1, y = 0;
        return;
    
    exgcd(b, a % b, x, y);
    ll z = x;
    x = y, y = z - y * (a / b);
    return;


int main()

    cin >> n >> p;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        ll x, y;
        exgcd(i, p, x, y);
        x = (x % p + p) % p;
        cout << x << endl;
    
    return 0;

线性递推（可以求多个）

这是一个神奇的过程……

假设我们现在要求\(k\)的乘法逆元，

令 \(a \ast k + b = p\)

\[b \ast inv(b) \equiv 1 (mod \text p)\]

把\(b=p-a\ast k\)代入，可以得到

\[(p-ak)\ast inv(b) \equiv 1 (mod \text p)\]

那么

\[p \ast inv(b) - a \ast k \ast inv(b) \equiv 1 (mod \text p)\]

在\((mod \text p)\)的意义下，\(p \equiv 0 (mod \text p)\)，所以\(p \ast inv(b)\)可以直接去掉

\[-a \ast k \ast inv(b) \equiv 1 (mod \text p)\]

观察\(a \ast k + b = p\)可以发现，\(a=\lfloor p/k \rfloor\)，\(b=p \mod k\)

\[-(p/k) \ast inv(p \text mod \text k) \ast k \equiv 1 (mod \text p)\]

即

\[-(p/k) \ast inv(p \text mod \text k) \equiv inv(k) (mod \text p)\]

这样，我们就得了递推式，在实际的代码实现中得加上 \(p\) 来去掉负号，也就是

\[(p-p/k) \ast inv(p \text mod \text k) \equiv inv(k) (mod \text p)\]

代码：

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n, p, inv[maxn];

int main()

    freopen("a.in", "r", stdin);
    freopen("a.out", "w", stdout);
    cin >> n >> p;

    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
        inv[i] = (ll)(p - p / i) * inv[p % i] % p;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        printf("%lld\n", inv[i]);
    return 0;