模板乘法逆元

Posted 2021-02-05 yufenglin

题目背景

这是一道模板题

题目描述

给定n,p求1~n中所有整数在模p意义下的乘法逆元。

输入输出格式

输入格式：

一行n,p

输出格式：

n行,第i行表示i在模p意义下的逆元。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

10 13

输出样例#1： 复制

1
7
9
10
8
11
2
5
3
4

说明

1≤n≤3×106,n<p<20000528

输入保证 p 为质数。

关于这道题，其实就是一个求逆元的模板题，常见的有三种方法，在这里只介绍两种方法：

1.费马小定理+快速幂（能水64分）

费马小定理：若p为素数，a为正整数，且a、p互质。 则有a^(p−1)≡1(mod p)

又因为a*a的逆元（w）等于1，所以a^(p−1)≡a*w（mod p）

故w在模p意义下是等于a^(p-2)的（记住就好）

所以问题就转化成了求a^(p-2)，我们就联想到了快速幂（如果不知道什么是快速幂，我也没招）

这个算法由于快速幂的优化，时间复杂度还是比较可观的，基本可以稳定在（nlogn）

附上该方法的代码：

 1 #include<cstdio>
 2 using namespace std;
 3 long long p;
 4 long long qpow(long long x,long long y)
 5 {
 6     long long ans=1;
 7     while(y!=0)
 8     {
 9         if(y&1)
10         {
11             ans=((ans%p)*(x%p))%p;
12         }
13         x=((x%p)*(x%p))%p;
14         y>>=1;
15     }
16     return ans;
17 }
18 int main()
19 {
20     long long n;
21     scanf("%lld%lld",&n,&p);
22     for(register int i=1;i<=n;i++)
23     {
24         printf("%lld
",(qpow(i,p-2))%p);
25     }
26     return 0;
27 }

 

2.线性递推（100分O（n）的神级算法）

令 p=ki+r k=⌊p/i?⌋,r=p mod i (i<p,k<p,r<i)

那么显然 ki+r≡0（mod p）　　

我们将左右同时乘以i和r的逆元即可得到

k∗r^−1+i^−1≡0(modp)

i^−1≡−k∗r^−1(modp)

代入k和r

i^−1≡−⌊p/i⌋∗(p mod i)^-1   (modp)

由于逆元一定是整数，那么我们在等式左右同时乘以(p mod i)^-1倍的p，由于在模p意义下，等式依然成立

最终状态：

inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;（inv指逆元）

附上本算法的代码：

 1 #include<cstdio>
 2 using namespace std;
 3 long long p,c[3000005];
 4 int main()
 5 {
 6     long long n;
 7     scanf("%lld%lld",&n,&p);
 8     c[1]=1;
 9     printf("1
");
10     for(register int i=2; i<=n; i++)
11     {
12         c[i]=(p-p/i)*c[p%i]%p;
13         printf("%lld
",c[i]);
14     }
15     return 0;
16 }