bzoj1010[HNOI2008]玩具装箱toy

Posted 2020-07-22 Bloodline

第一次写斜率优化的题好劲啊= =

然而这题似乎是傻逼题TAT、

然后这是文章...http://wenku.baidu.com/link?url=UQoesURrEsUM4NvE5ZacHn8kAk5HgZTj5uMfmZEgJFQs6UVEHQ2s8zH7IiTT7DIn47SfxzTVY041L5tzDVltl1WSUa35uMiwFp8gQNpnUES

 设s[i]为c[i]的前缀和，f[i]表示第1个物品到第i个物品的最小代价。

        易得DP方程为f[i]=min(f[j]+(s[i]-s[j]+i-j+1-l)^2)。

        设t[i]=s[i]+i，则f[i]=min(f[j]+(t[i]-t[j]+1-l)^2。

        设m=t[i]-l-1，则f[i]=min(f[j]+(m-t[j])^2)。

        对i做决策时，设j，k为2个一般的决策点。设j<k。

        若k比j优，则有

        f[k]+(m-t[k])^2<f[j]+(m-t[j])^2

        展开，得

        f[k]+m^2-2*m*t[k]+t[k]^2<f[j]+m^2-2*m*t[j]+t[j]^2

        化简，得

        ((f[k]+t[k]^2)-(f[j]+t[j]^2))/(t[k]-t[j])<2*m=2*(s[i]+i-l-1)

 　　 令slope(i,j)=(f[i]+sqr((double)s[i]+i)-f[j]-sqr((double)s[j]+j))/(s[i]+i-s[j]-j)

        斜率优化的2个重要结论（对于此题）：

        1）j<k，若slope(j,k)<2*(s[i]+i-l-1)，则k比j优。（PS：不等式左边为只与j,k有关的式子，不等式右边为只与i有关的式子）

        2）j<k<l，若slope(j,k)>slope(k,l)，则k可以被舍去。

        单调队列优化DP的伪代码：

　　 

for (int i=1;i<=n;++i){
    while (h+1<t && slope(q[h],q[h+1])<...) h++;
    f[i]=...;
    while (h+1<t && slope(q[t-2],q[t-1])>slope(q[t-1],i)) t--;
    q[t++]=i;
}

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