伪代码与时间复杂度

Posted 2020-06-10

伪代码规则：注意关键字不区分大小写

变量声明语句：Dim<变量> As <类型> 如：Dim a As INTEGER;

赋值语句：<变量>=<表达式> 如：a = 1; 或 a <- 1;

输入与输出：Input 与Output;

简单运算符：a + b > c;

复合条件：(a < b) AND (c < d);

IF条件子句：

if a = b Then

    i = i + 1;

    Else i = i - 1

EndIf

多重选择case子句：

case <变量> of

case 1: <条件>

    i = i  + 1;

case 2: <条件>

    i = i + 2;

EndCase

For循环子句：

For<计数器>=<开始>To<结束>

<循环体>

EndFor

While循环子句：

Do While <条件> 或 While

<循环体>

EndWhile

Until 循环子句：

Do

<循环体>

Until<条件>

 

算法分析：

 

时间复杂度：

往往只关注最坏情况的运行时间，所以只求算法的最长时间；

只关注最重要的增长量级，比如 an² + bn + c，只关注n²；

算法中常用符号：

渐近符号：

（1）O符号，渐近紧确上界，f(n) = O(g(n))，表示存在正常量c和n0使得对所有n ≥ n0，有  0 ≤ f(n) ≤ cg(n) ，即小于等于，f(n)不高于g(n)的阶；

（2）Ω符号，渐近紧确下界，f(n) = Ω(g(n))，表示存在正常量c和n0使得对所有n ≥ n0，有  0 ≤ cg(n) ≤ f(n) ，即大于等于，f(n)不低于g(n)的阶；

（3）o符号，非渐近紧确上界，f(n) = o(g(n))，表示存在正常量c和n0使得对所有n ≥ n0，有  0 ≤ f(n) < cg(n) ，即小于，f(n)低于g(n)的阶；

（4）ω符号，非渐近紧确下界，f(n) = ω(g(n))，表示存在正常量c和n0使得对所有n ≥ n0，有  0 ≤ cg(n) < f(n) ，即大于，f(n)高于g(n)的阶；

（5）Θ符号，渐近紧确界，f(n) = Θ(g(n))，表示存在正常量c1，c2，n0使得对所有n ≥ n0，有 0 ≤ c1g(n) ≤ f(n) ≤ c2g(n)，f(n)与g(n)同阶；

举例说明渐近符号的相关用法：

1、插入排序的时间复杂度是O(n²)，代表插入排度的时间复杂度是一个小于等于n²的集合(1，n，n²等)，时间复杂度即可以是1也可以是n²；

2、如果时间复杂度是Θ(2n²)，代表时间复杂度可以是n²，2n²，3n²等；

3、如果时间复杂度是Ω(n²)，代表时间复杂度可以是n²，n^3等；

4、如果时间复杂度是o(n²)，代表时间复杂度可以是1，n，2n等但不是能n²；

5、如果时间复杂度是ω(n²)，代表时间复杂度可以是n^3，n^4等但不是n²；

标准记号与常用函数：

1、下取整(floor)与上取整(ceiling)；

2、取模运算： a mod b的值即a/b的余数；

3、整除：a | b；

4、对数：

欧几里得算法：

两个整数的最大公约数，等于小整数与两整数相除的数的最大公约数；

证明：

a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b                      

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数