函数极限(1.1-1.46)

Posted 2020-11-30 ds37

# 2020张宇1000题·数一·刷题记录

## 第一篇 高等数学

### 第1章 极限、连续

#### 一、函数极限(1.1-1.46)

1. 分母等价替换，分子泰勒展开到x²项，或对式子求两次导。

2. 分母虽然是相减但是满足要求，可以直接用等价替换。分子两个函数都得泰勒展开到x³项，或对式子求三次导。答案的求导再拆分再求导太麻烦了。

3. (0-0)/0型，拆分分母变成两个极限相加，左边提取往e^x-1~x上靠，然后左右两遍都可以直接等价替换了。

4. 方法一中的泰勒展开式，展开到第二项与第三项，结果算出来是不一样的。应该是分子无穷小的阶数要大于等于分母的阶数才行。

5. 另一种方法，一次求导之后再拆分。

6. 式子太复杂不可能用求导，而分子分母都是加减形式，所以要先判断分子分母情况，才能确定能否直接等价替换。

${egin{cases}{lim limits_{x o 0}dfrac{(3+tanx)^x}{3^x}=dfrac{1}{1}=1}&分子相减等于0。 \\{lim limits_{x o 0}dfrac{3sin^2x}{x^3cosdfrac{1}{x}}=dfrac{3}{xcosdfrac{1}{x}(0·有界)}=infty eq-1}&分母相加不等于0。 end{cases}}$

故分子相减不能用等价无穷小替换，换个思路，提取3的x次方，往e^x-1~x上靠。

而分母相加可以用直接用等价无穷小替换。

7. 别想太复杂，一次求导以后直接代值。

8. 积分式求导，被积分的式子里面的积分也要相应的替换。

9. 用t替换1/x，再求导。

10. 拆分，再求导。

11. 同1.9，$(a^t-a^{-t})‘=lna(a^t+a^{-t})$。

12. 方向走偏了，需要改写+通分，再求导一次即可。

13. 换元法，第一个根式不用改写，但需要通分化简，再一次求导。

14. 通分，$x o 0，1-e^{-x} sim x sim е^x-1$，等价替换，再两次求导。

15. 0?型，改写，拆分，一次求导。

16. 改写，发现此题中ln里面的一坨不再是趋向于1，而是无穷，没法拆分等价替换。答案是直接硬求导，三层函数嵌套爽歪歪，然后化简。

还求不出来，继续让分子分母都保持存在函数，再次求导，结果分子是常数，分母趋向于无穷。

原式$=lim limits_{x o infty}e^{frac{4}{1+2x}}$。

就这结果还真就成了最终答案，一般都会怀疑这种。。。

总结：坚定求导就对了；另外，1/∞这种情况也是可以接受的。

17. 使劲求导+等价替换。

18. 同1.17。

19. 同上，可不用泰勒。

20. 几种泰勒与等价替换。

21. 换元，令t=1/x，化简原式，往(1+t)?靠，再用泰勒或求导。

22. 先拆分，再换元，最后泰勒。展开原则，要保证分子每一项泰勒展开无穷小的阶数要≥分母未知数的阶数。？？？

23. 直接求导的路走不通，联想e^x-1~x。等价替换成tanx-sinx后，直接一步泰勒或求两次导，或拆分再等价替换成tanx(1-cosx)。

24. 拆分，等价替换，再拆分，别用求导。

25. 通分后求两次导，记得化简。

26. 与1.23类似，提取然后等价，再一步泰勒或两步求导。

27. 等价替换后，同时求导即可。

28. 分母等价替换，整个式子两次求导。

29. 也是要提取，但指数的不好看，没反应过来。$x o 0，x^x$与其他相乘，可以直接单独算出来，即$0^0=1$。

求导一次+提取+等价替换 or 拆分+等价替换。

30. 直接应用三种函数的泰勒公式，但是要特别注意展开到第几项。？？？

一般以分母次数为基准，函数展开到相同次数不同系数为止。此题cosx也要展开到第三项。

31. 等价替换与拆分即可。

32. 改写成同一形式，再化简，拆分，最后等价替换。

$x=e^{lnx}=lne^x$

33. 拆分，往e^x-1靠，再等价替换，分母没法简化，整个式子得求导几次，最后分母能消去。

34. 拆分，求一次导，化简。

35. 忘了$a^x-1 sim xlna$，也能直接用等价替换，极限存在，而分母又趋向于0，故分子也必定趋向于0，所以也能直接用等价替换。

36. 用换元与x-arctanx的等价替换，或arctanx的泰勒，可以算出f(x)前半部分的极限，能求得x趋向于1时f(x)的值，f(x)的完整表达式就能写出来了。

37. 改写，泰勒展开多两项凑到二阶无穷小，要从从指数化到多项式型，只有按e?型再泰勒展开。

而且要先将指数改写，提出e¹，才能跟题目中单独出现的的e对上。

再就是展开后的小于二阶的无穷小，都直接被抹去了，这一点到时有点太不符合直观。姑且作为新原则应用：更小的无穷小阶数在比他大的无穷小阶数面前不起作用。

38. 同1.37，相当于要将e^(ln(1+x)/x)改写成A+Bx+Cx²+Dx³的形式，最后肯定是e^f(x)的形式，其中f(x)为多项式，就要拆成e^(常数项)*e^(f(x)-常数项)，再将后者展开。

需要用到两个函数的泰勒展开，但是注意因为分母是3次方。需要保证ln(1+x)/x跟e^f(x)都要展开至o(x³)。

实际计算的时候，只关注≦x³项的项，其他相乘后会大于x³的项不用算，因为最后有个o(x³)。


 

39. 是一道区分度高的优秀试题，是中等难度题。。。居然只是中等难度，是解答题的话就得写清楚完整逻辑，难啊。

如果只是填空或选择题的话。分析下题目，求的是lim(x→0)f[g(x)]，但是f(x)还分了x<0与x>0两种情况，肯定是在0处的左极限等于右极限，随便求一个就好了，而且还好求^ ^。

只是不能判断x→0时，g(x)也是否也是趋向于0的，是的话就需要直接代值进去算出来了。

要分x<0与x>0，分别对g(x)的值进行计算。还需要注意到无论x取何值，e^(1/x)都是大于0的。

？？？为什么用分离计算，然后求导的方法求出来x→0时，g(x)=-∞而不是0？？？


40. k≦0时，极限=-∞，排除；k>0时，(x→∞)∞-∞型通过t=1/x换元，通分后将两项合成一个式子，往0/0型或∞/∞上靠。

注意由于x不是趋向于0的，所以不能用泰勒展开，条件不符合。

难啊，想了好久才想通。


41. ①通分，e^(-t²)泰勒展开到o(x?)项，积分就能用多项式表达出来了，消去x?以下的项。

②通分，求一次导数，消去积分。再将e^(-x²)泰勒展开到o(x?)项，消去x?以下的项。

③想不到要用泰勒公式的时候，笨方法也能算出来。对式子求五次导，根据x→0时极限存在且为1，能建立起abc的关系式。第二次有b+c=0，第三次有3a-c=0，第五次有c=10。

42. ③提取，再求一次导即可，最快，不用像答案那么麻烦。但是要注意，是1/2-1/3=1/6！

①换元改写原式，求导或提取公因式(不一定看得出来)，代入求值。

②提取，拆分，不用泰勒，用两次等价替换。往(1+x?)-1~αx上靠，然后1-cosx可以再替换。


43. ①同上，拆分，往(1+x?)-1~αx上靠，用等价替换最快。x→1，1-(1+**x-1**?)~-α(x-1)=α(1-x)。

②还是同上，或者是换元改写原式，提取公因式，分母要要分离成n-2项，最后代入求值。

44. 1-cosx不是连在一起的，有可能看错直接等价替换了。


真变态，鬼知道要这么拆，用另一种通解的方法比较简单。但两种方法都不好想，记住此类套路留个印象吧。


45. 若f(0)=0的话，则$f‘(0)=frac{1}{0^2+f^2(0)}=frac{1}{0}$，无意义。题目默认f‘(x)都是存在的，所以排除这种特殊情况了。

注意到x²与f²(x)都是>0的，联想到f‘(x)?0与f(x)单调性的关系。再往题目中给出的条件f(1)=1上面靠，对f‘(x)进行积分，能用到熟悉的arctanx与π/4。最后极限保号性证明收尾。


？？？为啥$f(x)=1+int_{1}^{x}f‘(t)dt$

46. 同上，简直一模一样。$f(x)=f(0)+int_{0}^{x}f‘(t)dt$