我爱你高等数学之函数与极限

Posted 2021-02-12 robohou

第一节：映射与函数 1：映射，什么叫映射，什么叫逆映射，什么叫复合映射 2：函数，什么叫函数，什么叫反函数，什么叫复合函数，函数的性质有哪些（有界性，单调性，奇偶性，周期性） 第二节：数列的极限 1：数列的极限:什么叫数列的极限，什么叫收敛 2：收敛的数列有什么性质（唯一性、保号性、有界性，与自数列之间的相似性） 第三节：函数的极限 1：什么叫函数的极限（两种情况，一个趋近于定义域内的某个元素，一个是其绝对值趋近于无穷大），函数极限的定义 2：函数极限的形式（唯一性，局部保号性，局部有界性，函数极限与数列极限的关系） 第四节：无穷小和无穷大 1：什么叫无穷小 2：什么叫无穷大 第五节：极限的运算法则（6个定理） 主要是利用函数的四则运算以及复合函数的性质来实现计算。 定理1：无穷小的和为无穷小 定理2：有界函数与无穷小的积为无穷小 定理3：函数加减乘除的极限是每个函数单独极限的加减乘除（推论1：求极限是常数因子可以提取到极限记号外面；推论2：函数幂的极限等于函数极限的幂） 定理4：数列和的极限等于对应极限的和 定理5：如果函数A大于函数B，且两个函数的极限都存在，则A函数的极限大于B函数的极限 定理6：复合函数的极限法则 第六节：极限存在准则 两个重要极限 （夹逼准则，单调有界函数必有极限） 第七节：无穷小的比较 什么是高阶无穷小 什么是低阶无穷小 什么是同阶无穷小，什么是等价无穷小 第八节：函数的连续性和间断点 1：函数连续性的定义：在x0处有定义，且对应增量的极限是0 2：函数的间断点：在x0处没有定义；或者在x0处有定义，但是极限不存在；或者有定义且极限存在，但极限的值不等于f(x0) 第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性 定理1：连续函数的和、差、积、商都连续 定理2：如果函数在区间内单调增加（或减少），那么它的反函数也是单调增加（或减少） 定理3：复合函数的连续性 初等函数的连续性，基础初等函数在它们的定义域内都是连续的。 第十节：有界性与最大值最小值定理 定理1：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。 定理2：（零点定理）如果函数在闭区间上连续，且f(a) f(b)异号，则在开区间内至少有一点的函数值等于0； 定理3：（介质定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值A、B，则对于A B之间的任意一个数C，在开区间内至少能找到一个元素e，使f(e)等于C 推论：在闭区间[a, b]上连续的函数f(x)的值域空间为比区间[m,M｝，起哄m与M一次为f(x)在[a, b]上的最小值与最大值。 总结，在复习的会后要学会多多对自己讲课，另外，学习是一个漫长的过程，我希望能够有所帮助。