讨论函数的连续性啥时候分左右极限

Posted 2023-04-17

1、函数是分段函数的情况下，得分左右证明；

2、定积分时，若是广义积分、暇积分，不得不考虑单侧极限。是积分积出来之后才考虑单侧极限。

3、连续性问题，尤其是证明题，证明连续性，要考虑左右极限。

在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。连续函数的复合函数是连续的。

扩展资料：

函数连续的性质：

1、闭区间上的连续函数在该区间上一定有界；所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。

2、闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值；所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。

参考技术A 在某点的左右的函数表达式不一样的时候，一般是需要分别求左右极限的。
还有一些函数式，虽然表达式一样，但是其中某个部分左右极限不一样。这些部分的函数式一般是诸如a^x；arctanx等这些当x→-∞和x→+∞的时候，极限不相同的函数式的变形。那么也必须分别求左右极限的。
其他左右函数表达式一样的情况下，大多不需要分别求左右极限。直接求极限即可。 参考技术B 通常是在分段函数的情况下分左右极限，只有
x0的左极限=x0的有极限=x0点处的函数值，才能认为函数在该点连续。

知识点结构 | 第一章 极限与连续

• 函数的初等特性
  • 基本概念
    • 一元函数
    • 反函数 #注意 单调函数才有反函数
      • 例题
        
    • 基本初等函数
    • 初等函数
    • 复合函数 #辅导书
  • 初等特性
    • 有介性（绝对值)
      • 
    • 单调性
    • 奇偶性 #注意 判断奇偶性首先说明定义域关于原点对称
      • 注意
        
    • 周期性
  • 特殊函数 #辅导书
    • 符号函数sgnx -1 0 1
    • 狄利克雷函数 有理数为1，无理数为0
    • 取整函数 向下取整
• 极限
  • 定义与概念
    • 极限
      • 数列极限
      • 函数极限
        • 趋向某个点
          • 注意
            
            
            
          • 套路
            
        • 趋向无穷
      • #题型 证明lim数列=A：定义法，|数列-A|<ε→n>....→N=...（含ε）
    • 无穷小
      
      
      注意概念理解
      • 层次
        • 高阶无穷小
        • 同阶无穷小
          • 等价无穷小
  • 极限的性质
    • 一般性质
      • 唯一性
      • 保号性 （保号性有三个）
        • #证明 #不熟（第一保号性）关于极限性质的证明，往往需要指定ε（=A/2等）
        • #题型 给定极限情况，利用保号性判断一点是否为极值点
          • 法一 导数性质 左邻域f‘(x)与右邻域f‘(x)符号不同
          • 法二 图像情况 左邻域f(x)>f(x0),右邻域f(x)<f(x0)这样
      • 有界性
        • 两个方面
          • 数列存在极限则数列有介【有介一定是绝对值】#证明
          • 函数极限局部有界性 （趋向某一点的极限，则在去心邻域内有界）
        • 注意：数列有极限一定有界，有界不一定有极限，单调有界才必定有极限
      • 列与子列极限性质 #不熟
        • 列x（函数）子列n（数列）
    • 运算性质
      • 四则运算性质
        • #注意 四则运算只有在两部分的极限都存在时才可以用
      • 复合函数极限运算性质 #不熟
    • 存在性质/极限存在准则（研究极限是否存在）
      • 准则
        • 夹逼定理/迫敛定理（数列/函数） #辅导书注解P7
          • #套路
            
          • #题型n项和求极限
            • #思路先求和，后极限
            • #思路难以求和，夹逼定理（如果n项和相加求极限，分子/分母的各项中有一个不齐次，则对n项和用夹逼）
            • #思路 定积分定义（分子齐，分母齐，分母多一次，把多的这一次提出来变成1/n）
              
        • 单调有界的数列必有极限（数列仅仅有界不一定有极限）
          • #题型数列极限存在性证明（证数列存在极限，即证单调有界）
            • 至于先证明单调还是先证明有界，就观察题目了
            • 这里涉及常见不等式（求界）
    • 无穷小的性质
      • 一般性质
        • #不熟 有界函数*无穷小=无穷小
        • #不知道什么用
          
      • 等价无穷小的性质
        • #不知道什么用 α~β的充分必要条件是β=α+o(α）
      • 常见的等价无穷小（x→0）（均可由洛必达证明，注意洛必达使用条件）
        • #不熟 有时候，a为负数，写成分式形式，不易发现
          
        • #辅导书P8 全面的 #不熟两个
  • 两个重要极限（由等价无穷小推得）
    • 内容
      
    • #题型 不定型极限 求极限先看类型（看一下张宇的7种未定型极限） #易忘 求极限，洛必达/能否直接代入值算
      • #题型 0/0 注意转换形式以运用套路/洛必达 #注意 两种情况用了e^x-1，-1的情况其实可以直接用a^x-1~xlna
        • 内容
          
      • #题型 1^∞
        • 内容
          
      • #题型 ∞/∞
        • 内容
          
      • #题型 0*∞ #不熟 看一下例题
        • 内容
          
      • #题型 ∞-∞
        • 有分母则通分，无分母则分子有理化
    • #不知道什么用 #辅导书 P9
      • (0,2/π)时，sinx<x<tanx
      • x>0时，ln(1+x)<x,simx<x
• 连续与间断
  • 概念
    • 连续
      • 函数在某一点连续（极限值=函数值）
      • 函数在区间上连续（区间内点点连续，端点一侧极限值=函数值）
    • 间断（在某一点的极限值≠函数值）
      • 内容
        
      • #题型 间断点及分类 先找不在定义域的点，再验证
  • 函数在闭区间上连续的性质
    • 最值 函数在闭区间上有最大最小值
    • 有介 |f(x)|≤k
    • 零点定理 #开区间
    • 介值定理 #闭区间[m,M]间的每个值函数都能取到 位于m和M之间的任意值叫介值 #注意 使用介值定理必须出现m、M，且m、M是位于某个区间上的
      • #套路
        
        
      • #例题 即证1在[0,1]值域内