讨论函数的连续性啥时候分左右极限

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了讨论函数的连续性啥时候分左右极限相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1、函数是分段函数的情况下,得分左右证明;

2、定积分时,若是广义积分、暇积分,不得不考虑单侧极限。是积分积出来之后才考虑单侧极限。

3、连续性问题,尤其是证明题,证明连续性,要考虑左右极限。

在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商(分母不为0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数。连续单调递增 (递减)函数的反函数,也连续单调递增 (递减)。连续函数的复合函数是连续的。

扩展资料:

函数连续的性质:

1、闭区间上的连续函数在该区间上一定有界;所谓有界是指,存在一个正数M,使得对于任意x∈[a,b],都有|f(x)|≤M。

2、闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值;所谓最大值是指,[a,b]上存在一个点x0,使得对任意x∈[a,b],都有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义,只需把上面的不等号反向即可。

参考技术A 在某点的左右的函数表达式不一样的时候,一般是需要分别求左右极限的。
还有一些函数式,虽然表达式一样,但是其中某个部分左右极限不一样。这些部分的函数式一般是诸如a^x;arctanx等这些当x→-∞和x→+∞的时候,极限不相同的函数式的变形。那么也必须分别求左右极限的。
其他左右函数表达式一样的情况下,大多不需要分别求左右极限。直接求极限即可。
参考技术B 通常是在分段函数的情况下分左右极限,只有
x0的左极限=x0的有极限=x0点处的函数值,才能认为函数在该点连续。

知识点结构 | 第一章 极限与连续

    • 函数的初等特性
      • 基本概念
        • 一元函数
        • 反函数 #注意 单调函数才有反函数
          • 例题
            技术图片
        • 基本初等函数
        • 初等函数
        • 复合函数 #辅导书
      • 初等特性
        • 有介性(绝对值)
          • 技术图片
        • 单调性
        • 奇偶性 #注意 判断奇偶性首先说明定义域关于原点对称
          • 注意
            技术图片
        • 周期性
      • 特殊函数 #辅导书
        • 符号函数sgnx -1 0 1
        • 狄利克雷函数 有理数为1,无理数为0
        • 取整函数 向下取整
    • 极限
      • 定义与概念
        • 极限
          • 数列极限
          • 函数极限
            • 趋向某个点
              • 注意
                技术图片
                技术图片
                技术图片
              • 套路
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            • 趋向无穷
          • #题型 证明lim数列=A:定义法,|数列-A|<ε→n>....→N=...(含ε)
        • 无穷小
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          注意概念理解
          • 层次
            • 高阶无穷小
            • 同阶无穷小
              • 等价无穷小
      • 极限的性质
        • 一般性质
          • 唯一性
          • 保号性 (保号性有三个)
            • #证明 #不熟(第一保号性)关于极限性质的证明,往往需要指定ε(=A/2等)
            • #题型 给定极限情况,利用保号性判断一点是否为极值点
              • 法一 导数性质 左邻域f‘(x)与右邻域f‘(x)符号不同
              • 法二 图像情况 左邻域f(x)>f(x0),右邻域f(x)<f(x0)这样
          • 有界性
            • 两个方面
              • 数列存在极限则数列有介【有介一定是绝对值】#证明
              • 函数极限局部有界性 (趋向某一点的极限,则在去心邻域内有界)
            • 注意:数列有极限一定有界,有界不一定有极限,单调有界才必定有极限
          • 列与子列极限性质 #不熟
            • 列x(函数)子列n(数列)
        • 运算性质
          • 四则运算性质
            • #注意 四则运算只有在两部分的极限都存在时才可以用
          • 复合函数极限运算性质 #不熟
        • 存在性质/极限存在准则(研究极限是否存在)
          • 准则
            • 夹逼定理/迫敛定理(数列/函数) #辅导书注解P7
              • #套路
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              • #题型n项和求极限
                • #思路先求和,后极限
                • #思路难以求和,夹逼定理(如果n项和相加求极限,分子/分母的各项中有一个不齐次,则对n项和用夹逼)
                • #思路 定积分定义(分子齐,分母齐,分母多一次,把多的这一次提出来变成1/n)
                  技术图片
            • 单调有界的数列必有极限(数列仅仅有界不一定有极限)
              • #题型数列极限存在性证明(证数列存在极限,即证单调有界)
                • 至于先证明单调还是先证明有界,就观察题目了
                • 这里涉及常见不等式(求界)
        • 无穷小的性质
          • 一般性质
            • #不熟 有界函数*无穷小=无穷小
            • #不知道什么用
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          • 等价无穷小的性质
            • #不知道什么用 α~β的充分必要条件是β=α+o(α)
          • 常见的等价无穷小(x→0)(均可由洛必达证明,注意洛必达使用条件)
            • #不熟 有时候,a为负数,写成分式形式,不易发现
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            • #辅导书P8 全面的 #不熟两个
      • 两个重要极限(由等价无穷小推得)
        • 内容
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        • #题型 不定型极限 求极限先看类型(看一下张宇的7种未定型极限) #易忘 求极限,洛必达/能否直接代入值算
          • #题型 0/0 注意转换形式以运用套路/洛必达 #注意 两种情况用了e^x-1,-1的情况其实可以直接用a^x-1~xlna
            • 内容
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          • #题型 1^∞
            • 内容
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          • #题型 ∞/∞
            • 内容
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          • #题型 0*∞ #不熟 看一下例题
            • 内容
              技术图片
          • #题型 ∞-∞
            • 有分母则通分,无分母则分子有理化
        • #不知道什么用 #辅导书 P9
          • (0,2/π)时,sinx<x<tanx
          • x>0时,ln(1+x)<x,simx<x
    • 连续与间断
      • 概念
        • 连续
          • 函数在某一点连续(极限值=函数值)
          • 函数在区间上连续(区间内点点连续,端点一侧极限值=函数值)
        • 间断(在某一点的极限值≠函数值)
          • 内容
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          • #题型 间断点及分类 先找不在定义域的点,再验证
      • 函数在闭区间上连续的性质
        • 最值 函数在闭区间上有最大最小值
        • 有介 |f(x)|≤k
        • 零点定理 #开区间
        • 介值定理 #闭区间[m,M]间的每个值函数都能取到 位于m和M之间的任意值叫介值 #注意 使用介值定理必须出现m、M,且m、M是位于某个区间上的
          • #套路
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          • #例题 即证1在[0,1]值域内
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以上是关于讨论函数的连续性啥时候分左右极限的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

连续---1.4

连续---1.4

连续可导总结

:函数极限连续:第二节:极限

高数——多元函数

间断点