高数（同济6版）函数与极限---复习

Posted 2021-01-18 thg999

主要是想把这章的知识点连贯起来。这章的知识点的编排顺序很连贯，只有学了上一个小节才看的懂下一个，这章主要研究的是函数的极限，包括极限的由来、定义、性质和求极限，核心问题是如何求极限。围绕求极限来发散一下思维.既然是求极限，求的是什么的极限？显然，求的是函数的极限，那么函数有哪些？

       1.数列 可以把数列看做是一个定义域为正整数集合的特殊函数
       2.初等函数 包括5类基本初等函数（指、幂、对、正三角、反三角函数）和这些基本初等函数的有限次组合构成的新函数

       3.其它比较复杂的函数，如无限次基本初等函数组成的新函数

本章就是围绕这些函数来讲它们的极限。知道了函数有哪些后，想要了解函数的由来怎么办？那就要了解映射，先有了映射后来才有了函数，映射是什么？两堆元素之间建立的严密的对应关系，那么数学上的映射就是两堆数字之间建立的严密的对应关系，如何来用可计算的方式来描述映射了？那么就发明了函数，两堆数字在数学上叫集合。所以这一章第一节先讲集合，再讲映射，最后将函数，讲的内容是如何定义，有什么性质，怎么分类，接着第二节开始讨论数列的极限，第三节讨论函数的极限，其实这两节讨论的都是极限的由来、定义和性质，至于求极限，需要了解很多其它数学知识才能求。所以后边的小节围绕如何求极限展开。

如何求极限？首先想到的应该如何求一些简单函数的极限，然后再去求由这些简单函数组合成的复杂函数的极限。最简单的函数有哪些？当然相对来说初等函数是最简单的。于是在书上到求极限的时候往往是从最简单的求初等函数的极限开始求，各种求法就不一一叙述，刷题即可。为了求极限和探讨求极限的法则介绍的各个知识点包括无穷大、无穷小、连续性等等各种定理准则及极限本身的性质和准则也不叙述了，要自己看书才能明白。但是有个看书的顺序：先看极限的定义和极限的性质，再看无穷大无穷小，再看极限的运算法则（只有懂了无穷大、小）才能推出极限的运算法则，然后再看一些稍微有点变化的函数的极限求法如：sinx/x,(1+1/x)的x次方，最后看连续性，会发现基本初等函数都在定义域内连续，且某个点的极限求法就是改点的函数值。连续性也为下一章求导微分做铺垫。