：函数极限连续：第二节：极限
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了：函数极限连续：第二节：极限相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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一：极限的概念
（1）数列极限
定义：如果对于任意给定的 ξ > 0 \\xi >0 ξ>0，总存在正整数 N N N，当 n n n> N N N时，恒有 ∣ x n − a ∣ < ξ |x_n-a|<\\xi ∣xn−a∣<ξ成立，则称常数 a a a为数列 x n \\x_n\\ xn当 n n n趋于无穷时的极限，即为 lim n → ∞ x n = a \\lim\\limits_n \\to \\inftyx_n=a n→∞limxn=a
- ξ \\xi ξ是用来刻画 x n x_n xn与 a a a的接近程度； N N N是用来刻画 n → ∞ n \\to \\infty n→∞这个极限的过程
- lim n → ∞ x n = a \\lim\\limits_n \\to \\inftyx_n=a n→∞limxn=a的几何意义：对于 a a a点的任何 ξ \\xi ξ领域也即开区间 ( a − ξ , a + ξ ) (a-\\xi, a+\\xi) (a−ξ,a+ξ)，一定存在 N N N，当 n > N n>N n>N也即第 N N N项以后的点 x n x_n xn都落在开区间 ( a − ξ , a + ξ ) (a-\\xi, a+\\xi) (a−ξ,a+ξ)内，而只有有限个（最多 N N N个）落在此区间之外
- 数列 x n \\x_n\\ xn的极限是否存在（或者说存在等于多少）与数列的前有限项无关
- lim n → ∞ x n = a < = > lim k → ∞ x 2 k − 1 = a = = lim k → ∞ x 2 k = a \\lim\\limits_n \\to \\inftyx_n=a <=> \\lim\\limits_k \\to \\inftyx_2k-1=a ==\\lim\\limits_k \\to \\inftyx_2k=a n→∞limxn=a<=>k→∞limx2k−1=a==k→∞limx2k=a
（2）函数极限
定义1：如果对于任意给定的 ξ > 0 \\xi >0 ξ>0，总存在 X > 0 X>0 X>0，当 ∣ x ∣ |x| ∣x∣> X X X时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ξ |f(x)-A|<\\xi ∣f(x)−A∣<ξ成立，则称常数 A A A为 f ( x ) f(x) f(x)当 x x x趋于无穷时的极限，即为 lim x → ∞ f ( x ) = A \\lim\\limits_x \\to \\inftyf(x)=A x→∞limf(x)=A
- 极限 lim x → ∞ f ( x ) \\lim\\limits_x \\to \\inftyf(x) x→∞limf(x)存在的充要条件是 lim x → − ∞ f ( x ) \\lim\\limits_x \\to- \\inftyf(x) x→−∞limf(x) 和 lim x → + ∞ f ( x ) \\lim\\limits_x \\to+ \\inftyf(x) x→+∞limf(x) 存在且相等
定义2：如果对于任意给定的 ξ > 0 \\xi >0 ξ>0，总存在 σ > 0 \\sigma>0 σ>0，当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < σ 0<|x-x_0|<\\sigma 0<∣x−x0∣<σ时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ξ |f(x)-A|<\\xi ∣f(x)−A∣<ξ成立，则称常数 A A A为 f ( x ) f(x) f(x)当 x x x趋于 x 0 x_0 x0时的极限，即为 lim x → x 0 f ( x ) = A \\lim\\limits_x \\to x_0f(x)=A x→x0limf(x)=A
- ξ \\xi ξ是用来刻画 f ( x ) f(x) f(x)与 A A A的接近程度； σ \\sigma σ是用来刻画 x → x 0 x \\to x_0 x→x0这个极限过程
- x → x 0 x \\to x_0 x→x0但 x ≠ x 0 x \\neq x_0 x=x0，也即极限 lim x → x 0 f ( x ) \\lim\\limits_x \\to x_0f(x) x→x0limf(x)是否存在（或者说存在这个极限值等于多少）与 f ( x ) f(x) f(x)在 x = 0 x=_0 x=归纳.1.函数与极限——四.无穷大与无穷小