P3386 模板二分图最大匹配 题解

Posted 2020-11-28 bifanwen

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简要题意：

给定两个点集与一些边（保证每条边的顶点属于不同点集），求二分图最大匹配。

解释下：二分图最大匹配 就是 最大的边集使得每两条边都不相交，不共点 的边的个数。

那么你会说，我用并查集维护一下就行了？远远不是这样。

本题作为 匈牙利算法 的模板题讲解。

以下面这个关系为例：

假设有 wxq，wsq，zmx，NBL ，bfw，gyx 与 kkk 六个人。

其中，wxq，zmx，gyx ，bfw是第一点集，其余是第二点集。

并且他们说：

• wxq: 我觉得 wsq ，NBL ，kkk 都可以成为我的 ( ext{CP})。

• zmx: 我觉得只有 wsq 可以成为我的 ( ext{CP}).

• gyx: 我觉得 wsq 和 NBL 都可以食用。

• bfw: 我觉得她们三个都不错啊。

好，下面我们要 尽量满足他们的需求。

第一个人 wxq，好，他的第一个备选人是 wsq，那么就先让他和 wsq 成为 ( ext{CP}).

第二个人 zmx 来了，并对 wxq 说：

你拿走了 wsq 那我怎么办？？？

wxq 想：行啊，反正我还有 NBL 和 kkk.

于是，wxq被绿了 zmx 成功地 ~绿了wxq 得到了 wsq，然后 wxq 与 NBL 成为 ( ext{CP}).

然后，第三个人 gyx 来了，并对 zmx 说：

你拿走了 wsq 那我怎么办？

zmx 想了想说：

我只有她一个备选人啊，我要生存！单身狗还是你做吧

于是 gyx 绿人计划失败

但是 gyx 看自己的备选人还有 NBL，所以对 wxq 说：

喂喂喂，快点还我 NBL.

wxq 想：没关系，反正我还有 kkk 对吧。

所以 wxq又被绿了 gyx 绿了wxq 与 NBL 成为了 ( ext{CP})，然后 wxq被轮番绿 与 kkk 成为了 ( ext{CP}).

最后一个人 bfw 来了，他先找到 zmx 说：

wsq 给我行不？

zmx 说：我只有她一个人啦！对方拒绝了该请求。

bfw 又辗转来到 wxq 说：

kkk 给我行不？

wxq 说：你们都想绿我是吧，没门 我也只有她一个人了。

bfw 最终对 gyx 说：

救救我，我马上要单身了。

gyx 一口回绝道：我刚刚绿了 wxq，你就像反绿我是吧 我也只有 NBL 一人了，你再找找别人吧。

最后，bfw 成为了单身狗 被抛弃了，他没有 ( ext{CP})，所以上述的 二分图最大匹配 为 (3).（满足了 (3) 个人的需求）

所以可见，匈牙利算法是一种基于 绿与被绿 协商与匹配的过程。

简要步骤如下：

1. 如果后来的人 想绿别人 与前面的人发生冲突，前面的人会进行抉择进行第 (2) 步；否则后来的人就有了 ( ext{CP}). 有了，下一个！

2. 如果前面的人发现 自己被绿了，还有退路或者能绿别人 自己没有 ( ext{CP}) 可处，那么就拒绝；然后后来的人回到第 (1) 步，进行下一步 准备绿人 。

3. 如果新来的那人被所有人拒绝了 绿人失败，则它就单着吧。 单身狗它不香吗

众所周知，只有最后绿人成功的人才能获得最终胜利！

有机会上，没机会创造机会也得上！

这就是 匈牙利算法 的大致内容。

你会发现，可能会出现 很多人迭代地绿对方 很多 协商与匹配的过程。 就比方说一个完全图（只有被绿了多次的人才能找到真正的CP，而且先下手为强），所以我们要用 ( ext{dfs}) 进行递归搜索。

• 细节：

有的时候自己会 间接地绿自己 与自己协商。比方说：

1 1
1 2
2 1
3 1
3 2

(1) 和 (2) 绿 协商后，(1 ightarrow 2)，(2 ightarrow 1)，然后 (3) 来了。他 想绿1 先与 (1) 协商，然后 (1) 与 (2) 协商（循环被绿），然后 (2) 又和 (1) 协商，(1) 又与 (2) 协商。。最后3成单身狗，他俩绿疯了 然后就没了。 3:喂你们没人选我么

所以，要用 (vis_i) 表示 当前 想绿人的 与别人协商的是几号，防止循环 绿 协商。

时间复杂度：(O(max(n,m) imes e))

实际得分：(100pts).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2e3+1;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘) {if(ch==‘-‘) f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘,ch=getchar();return x*f;}

int n,m,T,vis[N],mat[N];
//mat[i] 表示 i 的 CP 编号
vector<int>G[N]; //图

inline bool dfs(int dep,int bs) { //表示当前让 CP 是否成功
	if(vis[dep]==bs) return 0;
	vis[dep]=bs;
	for(int i=0;i<G[dep].size();i++) {
		int x=G[dep][i];
		if(!mat[x] || dfs(mat[x],bs)) {
		//没有匹配 或者 可以让 CP 就换 CP
			mat[x]=dep; //记录匹配
			return 1;
		}
	} return 0;
}

int main(){
	n=read(),m=read(),T=read();
	while(T--) {
		int x=read(),y=read();
		G[x].push_back(y);
	} int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(dfs(i,i)) ++ans;
	printf("%d
",ans);	
	return 0;
}