14- I. 剪绳子

Posted 2020-11-27 ustc-zcc

题目:给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

 方法一： 动态规划

主要思路：在已知长度为n的绳子最大乘积的基础上，长度n+1绳子的最大乘积可能来源依赖于前面已知求解。
定义辅助数据结构：记长度为n的绳子最大乘积为s[n]，简单起见，不考虑索引偏移问题，初始化s = [1]*(n+1)。
假设当前处理长度为i的绳子最大乘积问题：

（1）从i中截取一块长度为j的绳子，剩余长度i-j的最大乘积为s[i-j]，即最后一段长度为j的方案带来的乘积为j*s[i-j]；
（2）对j从1到n-1进行遍历，取最大值；
（3）由于我们假定长度i-j绳子最大乘积为s[i-j]的前提是要求i-j必须进行分割（m>1），然而对于从i中截取j这一事件本身已经满足分割要求，所以上述取最值还需增加一个补丁：即仅对长度i进行i-j和j两段分割的判断。

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        s = [1]*(n+1)
        for i in range(2, n+1):
            for j in range(1, i):
                s[i] = max(s[i], s[j]*(i-j), j*(i-j))
        return s[n]

方法二：数学公式推导

推论：尽可能将绳子以长度3等分为多段时，乘积最大！

切分规则：
（1）最优： 3 。把绳子尽可能切为多个长度为 3 的片段，留下的最后一段绳子的长度可能为 0,1,2三种情况。
（2）次优： 2 。若最后一段绳子长度为 2 ；则保留，不再拆为 1+1 。
（3）最差： 1 。若最后一段绳子长度为 1 ；则应把一份 3 + 1 替换为 2 + 2，因为 2×2 > 3×1。

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        if n <= 3: return n - 1
        a, b = n // 3, n % 3
        if b == 0: return int(math.pow(3, a))  #留下的最后一段绳子的长度为 0
        if b == 1: return int(math.pow(3, a - 1) * 4)  #留下的最后一段绳子的长度为 1

return int(math.pow(3, a) * 2)