14- I. 剪绳子☆☆☆(动态规划)

Posted 2021-03-08 fanguangdexiaoyuer

动态规划从入门到精通（一）-入门篇

描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：

2 <= n <= 58

解析

动态规划五部曲

1. 判题题意是否为找出一个问题的最优解
2. 从上往下分析问题，大问题可以分解为子问题，子问题中还有更小的子问题
3. 从下往上分析问题 ，找出这些问题之间的关联（状态转移方程）
4. 讨论底层的边界问题
5. 解决问题（通常使用数组进行迭代求出最优解）

------1、判题题意是否为找出一个问题的最优解

看到字眼是“可能的最大乘积是多少”，判断是求最优解问题，可以用动态规划解决；

 

------2、从上往下分析问题，大问题可以分解为子问题，子问题中还有更小的子问题

题目中举了个例子：当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段，此时得到的最大乘积是18；我们可以从这里开始突破，把长度为8绳子的最大乘积分解为数个子问题，长度为8我们可以把它看成长度为1和7的绳子的和，或者长度 为2和6的绳子的和，或者长度为3和5的绳子的和and so on!
到这里，相信大家已经看到一丝真理了吧？

------3. 从下往上分析问题 ，找出这些问题之间的关联（状态转移方程）

在第二点时，我们已经从上到下分析问题了，现在我们要从下往上分析问题了。分析可知，
f(8) 的值就是f(1)*f(7),f(2)*f(6),f(3)*f(5),f(4)*f(4)它们之中的最小值，即f(8) = Max{f(1)*f(7),f(2)*f(6),f(3)*f(5),f(4)*f(4)}
只要知道f(1)到f(7)的值就能求出f(8)；对于f(7)，只要知道f(1)到f(6)的值就能求出f(6)；对于f(6)，只要知道f(1)到f(5)的值就能求出f(6)；以些类推，我们只要知道前几个边界的值，就能一步步迭代出后续的结果!
状态转移方程： f(n)=Max{f(n-i)*f(i)} i={1,2,3,…,n/2}

------4. 讨论底层的边界问题

底层的边界问题说的就是最小的前几个数值的f(n)的值，本题中就是f(0)、f(1)、f(2)、f(3)的值
对于f(0)，长度为0的绳子，没办法剪，没有意义
对于f(1)，长度为1的绳子，没办法剪，设为1
对于f(2)，长度为2的绳子，只有一种剪法，剪成两段长度为1的绳子，但剪后的乘积为1，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘积最大值的话就没必要剪。
对于f(3)，长度为3的绳子，只有一种剪法，剪成两段长度为1和2的绳子，但剪后的乘积为2，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘积最大值的话也没必要剪。

代码

public static int cutting(int n) {
        //长度小于等等于1没办法剪
        if(n <= 1)
            return 0;
        //对于f(2)，长度为2的绳子，只有一种剪法，剪成两段长度为1的绳子，剪后的乘积为1
        if(n == 2)
            return 1;
        //对于f(3)，长度为3的绳子，只有一种剪法，剪成两段长度为1和2的绳子，但剪后的乘积为2
        if(n == 3)
            return 2;
        //数组用于存储绳子乘积最大值
        int value[] = new int[n + 1];
        value[0] = 0;
        value[1] = 1;
        //剪后的乘积为1，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘积最大值的话就没必要剪
        value[2] = 2;
        //剪后的乘积为2，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘积最大值的话也没必要剪
        value[3] = 3;
        //从f(4)开始迭代
        int max = 0;
        for(int i = 4;i <= n; i++) {
            max = 0;
            for(int j = 1;j <= i/2; j++) {
                max = Math.max(value[j] * value[i - j], max);
            }
            value[i] = max;
        }
        max = value[n];//绳子越长，当然剪出来的值越大
        return max;
    }