几何系列四元数的基础

Posted 2020-11-27 noluye

William Rowan Hamilton 在 1843 年发明了四元数（quaternions）。他努力推广四元数来描述三维空间，不过当时有很多数学家反对，认为四元数很邪恶。

不过在一个世纪之后，四元数在计算机工业界起死回生，包括计算机图形学、机器人等领域应用广泛。他描述三维旋转简洁、计算高效、也能避免数值误差。

除此之外，四元数在量子力学方面也有应用。

定义

四元数的定义和相关规则如下：

$$q=a+bi+cj+dk$$

其中 $a$、$b$、$c$、$d$ 是标量，而 $i$、$j$、$k$ 是虚数，并遵循以下规则：

$$i^2=-1,j^2=-1,k^2=-1,ijk=-1$$

$$ij=k,jk=i,ki=j$$

$$ji=-k,kj=-i,ik=-j$$

19 世纪末，Josiah Gibbs 提出 3 个虚数可以看做 3 维向量，避免包含那么多的虚数项。于是 $bi+cj+dk$ 变为 $q=a+bvec{i}+cvec{j}+dvec{k}$ 的向量表示，其中 $vec{i}$、$vec{j}$、$vec{k}$ 是单位笛卡尔向量。

目前，在计算机图形学中，一般用两种方式表达四元数：

$$vec{q}=s,vec{v}$$

$$vec{q}=s+vec{v}$$

其中 $s$ 是标量，$vec{v}$ 是 3D 向量。

这里我们把四元数表示为标量和向量的组合，于是：

$$vec{q}=s+vec{v}=s+xvec{i}+yvec{j}+zvec{k}$$

其中 $s$、$x$、$y$、$z$ 为标量。

后面我们会知道 $vec{v}$ 用于表示旋转轴，而 $s$ 表示旋转角度。

公理

复数是实数的二维延伸，而四元数是复数的四维延伸。除了乘法以外，四元数与复数有相同的公理。

加法

交换律：$q_1+q_2=q_2+q_1$

结合律：$(q_1+q_2)+q_3=q_1+(q_2+q_3)$

乘法

结合律：$(q_1q_2)q_3=q_1(q_2q_3)$

交换律（不满足）：$q_1q_2 eq q_2q_1$

加减

对于两个四元数（为了方便，此后向量不再加箭头号）：

$$q_1=s_1+x_1i+y_1j+z_1k$$

$$q_2=s_2+x_2i+y_2j+z_2k$$

其加减法为：

$$q_1pm q_2=(s_1pm s_2)+(x_1pm x_2)i+(y_1pm y_2)j+(z_1pm z_2)k$$

四元数相乘

结合一下运算规则：

$$i^2=-1,j^2=-1,k^2=-1,ijk=-1$$

$$ij=k,jk=i,ki=j$$

$$ji=-k,kj=-i,ik=-j$$

对于两个四元数：

$$q_1=s_1+v_1=s_1+x_1i+y_1j+z_1k$$

$$q_2=s_2+v_2=s_2+x_2i+y_2j+z_2k$$

相乘之后：

egin{align*}
q_1q_2 &= s_1s_2-(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)+s_1(x_2i+y_2j+z_2k)+s_2(x_1i+y_1j+z_1k)+(y_1z_2-y_2z_1)i+(z_1x_2-z_2x_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k\\
&= s_1s_2-v_1cdot v_2+s_1v_2+s_2v_1+v_1 imes v_2
end{align*}

其中 $s_1s_2-v_1cdot v_2$ 是标量，$s_1v_2+s_2v_1+v_1 imes v_2$ 是向量。

由于 $v_1 imes v_2$ 的存在，可以证实四元数乘法不满足交换律。

纯四元数

标量项为 0 的四元数称为纯四元数（pure quaternion）：

$$q=0+v$$

对于两个纯四元数 $q_1=0+v_1$ 和 $q_2=0+v_2$，其乘积为：

$$q_1q_2=-v_1cdot v_2+v_1 imes v_2$$

进而可以发现，两个纯四元数的平方为：

$$

egin{align*}
qq &= -vcdot v+v imes v\\
&= -vcdot v\\
&= -left | v ight |^2
end{align*}

$$

在 Hamilton 的时代，尤其物理学家对于这个负数结果很难接受，因而拒绝使用四元数而接受 Gibbs 等人的向量分析。

四元数的模

四元数的模（modulus）或范数（norm）写作 $left | q ight |$ ，对于四元数 $q=s+xi+yj+zk$：

$$left | q ight |=sqrt{s^2+x^2+y^2+z^2}$$

四元数的模的几何意义是对空间的放缩系数。

单位四元数

单位四元数（unit quaternion）是模为 1 的四元数：

$$left | q ight |=sqrt{s^2+x^2+y^2+z^2}=1$$

单位四元数尤为重要，如果把它看作是几何变换的话，由于模为 1，所以放缩系数为 1，于是单位四元数它相当于一个描述三维空间的纯旋转动作。

任何四元数 $q$ 都可以规范为单位四元数 $hat{q}$：

$$hat{q}=$frac{q}{left | q ight |}$

共轭四元数

共轭四元数和共轭复数类似，对于某一四元数：

$$q=s+v=s+xi+yj+zk$$

其共轭四元数为：

$$q^*=s-v=s-xi-yj-zk$$

于是我们可以发现：

$$

egin{align*}
qq^*&=(s+v)(s-v)\\
&=s^2+vcdot v+sv-sv+v imes (-v) \\
&= s^2+x^2+y^2+z^2
end{align*}

$$

其乘积是一个标量，进而可得：

$$qq^*=left | q ight |^2Leftrightarrow left | q ight |=sqrt{qq^*}$$

类似地，我们可以证明：$qq^*=q^*q$。

根据共轭四元数定义和乘法，我们还可以证得：$(q_1q_2)^*=q_2^*q_1^*$。

四元数的逆

$q^{-1}$ 是四元数 $q$ 的逆（$q eq 0$），满足：

$$qq^{-1}=q^{-1}q=1$$

根据定义，两边同乘 $q^*$，可得：

$$q^*qq^{-1}=q^*q^{-1}q=q^*$$

$$Rightarrow q^*qq^{-1}=q^*$$

$$Rightarrow left | q ight |^2q^{-1}=q^*$$

$$Rightarrow q^{-1}=frac{q^*}{left | q ight |^2} $$

显然，如果 $q$ 是单位四元数，即 $left | q ight |=1$，那么：

$$q^{-1}=q^*$$

由于单位四元数可以表示旋转作用，那么单位四元数的逆就表示对这个旋转作用的抵消作用。关于四元数的更多几何意义推荐观看四元数的可视化。

 

参考

• Rotation Transforms for Computer Graphics by John Vince
• 四元数的可视化
• 【几何系列】复数基础与二维空间旋转