数学基础系列----第一中值定理微积分基本定理牛莱公式泰勒公式

Posted 2020-11-26 xiaoyh

一、第一中值定理

如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点$xi $，使得$int_{a}^{b}f(x)dx=f(xi )(b-a).(aleqslant xi leqslant b)$

　　

二、微积分基本定理

积分上限函数：函数f(x)在区间[a，b]上连续，对于定积分$int_{a}^{x}f(x)dx$每一个取值的x都有一个对应的定积分值。记作：$Phi (x)=int_{a}^{x}f(t)dt$

定理1：

　　

定理2（原函数存在定理）：

　　

三、牛顿—莱布尼兹公式

牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本公式，它揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a，b]上的一个原函数，则：$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

解释：一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量

几何解释：

　　

可得：$f(b)-f(a)=sum dy$，由于$dy={f}‘(x)dx$，所以 $f(b)-f(a)=sum f‘(x)dx=int_{a}^{b}f‘(x)dx$

例题：求解$int_{0}^{frac{pi }{2}}(2cos x+sin x-1)dx$

　　

定理3（微积分基本公式）：

　　

有$f(x)in C[a,b]$，且$F‘(x)=f(x)$

　　

例题：计算由曲线y²=2x和直线y=x-4所围成的图形的面积

　　

 　　

四、泰勒公式

简单来讲就是用一个多项式函数去无限逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像，如sin x，cos x等函数值的近似计算)，注意，逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。如果一个非常复杂函数，想求其某点的值，直接求无法实现，这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值，这是泰勒公式的应用之一。泰勒公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。

首先回忆微分 

若$f‘(x_{0})$存在，在$x_{0}$附近有$f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})approx f‘(x_{0})Delta x$。

由于$Delta x=x-x_{0}$，可以得到$f(x)=f(x_{0})+f‘(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})$，

近似可得$f(x)approx f(x_{0})+f‘(x_{0})(x-x_{0})$。

接着再来引出泰勒公式，如果说我们想要以直线来近似的代替一个曲线，如下图所示

　　

只用一阶导数看起来有点不准呀，如上图所示，能不能在利用一些呢？答案肯定是可以的，一阶导数只帮我们定位了下一个点是上升还是下降，然后对之后的趋势就很难把控了。

　　

那如何定位的更准确一些呢？如果我们再把二阶导数利用上呢？

　　

我们可以发现，这样的方式存在精确度不够高，误差不能估计等不足之处。所以，主要的问题就是寻找函数P(x)，使得f(x)≈P(x)，从而使得误差R(x)=f(x)-P(x)可估计。

　　

分析：如果说要f(x)≈P(x)，且近似程度要好，P_n(x)应该满足什么条件？

　　

由上图就可以引出泰勒公式了

　　

$P_{n}(x)=f(x_{0})+f‘(x_{0})(x-x_{0})+frac{f‘‘(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+cdots +frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$称为f(x)在点x₀关于(x-x₀)的n阶泰勒多项式，这个式子只能说是得到的值能够无限的逼近真正的函数值，但是其中还存在一个误差项R(x)，也就是说f(x)=R(x)+P(x)，这里的误差项称为余项。对于一般的机器学习、深度学习来说，余项本身也用不上在加上其比较复杂，所以在这里就不作解释了。

五、泰勒公式详细解释

多项式逼近如下图所示

　　

公式里面的阶数是什么意思呢？

阶数越高增长速度越快。观察可发现，越高次项在越偏右侧影响越大。对于一个复杂函数，给我们的感觉是在当前点，低阶项能更好的描述当前点附近，对于之后的走势就越来越依靠高阶的了。

　　

公式里面的阶乘是什么意思呢？

如果把9次的和2次的直接放在一起，那2次的就直接不用玩了呀，它们之间的差距太大了。但是在开始的时候应该是2次的效果更好，之后才是慢慢轮到9次的。

　　

 有了阶乘(!)之后，就帮助我们解决了这样的问题

　　

如下图所示，使用不同阶的多项式函数来逼近$y=sin x$函数

　　

可以看到，阶数越高的函数越能拟合$y=sin x$函数。