数学笔记14——微积分第一基本定理

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微积分第一基本定理

  如果F’(x) = f(x),那么:

  如果将F用不定积分表示,F =∫f(x)dx,微积分第一基本定理可以看作为是两个不定积分赋予特定的值,再用符号连接起来,计算具体的数值。

  这里引入一个新符号:

  于是:

示例1

 

示例2

  

示例3

  f(x) = sinx,求下图阴影部分的面积

  这实际上是积分的几何意义。

再看积分的几何意义

  如果s = S(t)是距离关于时间的函数,那瞬时速度就是S’(t) = ds/dt = V(t),从时间a到时间b所经过的距离是:

  dt = 1秒,用黎曼和表示:

  V(t)就是汽车仪表盘上的速度, 就是行驶的里程。

  如果行驶一段时间后掉头,再回到出发点,按照黎曼和表示法将会出现相反的速度,最后的结果是0。这样看来, 表示的就是位移而不是行驶里程,其里程应当是   再来看一个例子,曲线是sinx,0 ≤ x ≤ 2π,求曲线和x轴间两个驼峰的面积。

 

  这肯定不对了,原因是上篇文章提到的概念:“是y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积”并不完全正确。当曲线在x轴上方是,定积分才是面积;在下方是,面积(积分值)是负的。之前的几何解释是不完全的,它掩盖了某些事实,关于定积分真正的几何解释是:定积分是x轴上方的面积减去x轴下方的面积。

定积分的性质

定积分的换元法

  变量替换是定积分的另一个性质,这个性质结合了不定积分的换元法(关于换元法的描述:数学笔记11——微分和不定积分)。定积分换元法性质:

  这个性质仅在u’在积分限上不变号时才有效,即u’(x)和u(x)在[x1, x2]上必须同号。

示例1

示例2

  这是正确答案。如果使用换元法:

  答案是错误的,其违反了定积分换元法的约束条件,u = x2, u’ = 2x,当x = -1时,u’ = -2,当x = 1时, u\' = 2, u’不同号。对于此例,du = 2xdx实际上应该是 dx =± u-1/2du/2

再看第一定理

  微积分第一基本定理:如果F’(x) = f(x)

  这是定理的标准形式,用F去解释f。现在换个角度,用f去理解F,可以写成:

  仅仅是反过来写了一遍,但这种形式对以后的理解至关重要。现在,

   等式的右边可以看作f的均值:

  average(f)需要用黎曼和解释。如果a = 0, b = n,Δx=1,

  等式左边是离散情况下的均值,右边是连续情况下的均值,如果是计算面积,右边要更加精确。如果用ΔF = Average(F’) Δx理解第一基本定理,就是F的该变量等于其微小改变的平均值乘以流逝的时间。

中值定理

  之前介绍过中值定理:f(x)在[a, b]上连续,f(x)在(a,b)内可导,且 a < c < b,

  换成上一节的写法就是

  F’(C)是不确定的,而第一基本定理得到了一个确定的值。可以将中值定理看作第一基本定理的泛化,第一基本定理要比中值定理更“强”。事实上,只要能够使用第一基本定理,就不去使用中值定理。

  既然是中值定理,就一定存在:

第一基本定理与中值定理结合

示例

  F’(x) = 1/(1 + x), F(0) = 1, F(4)的取值范围?

 

  解法一:用中值定理求解

  解法二:用微积分求解

  综上,4/5 < F(4) < 5

  可以用画图法理解微积分求解, 被积函数是y=1,  被积函数是y=1/5

 

  如上图所示,∫dx/(1+x)计算的是 y = 1/(1+x)在[0,4]内与x轴的面积;最大值和最小值是将曲线变成一个矩形,这可以看作是朴素的黎曼和。微积分之所以更加精确,正是因为将曲线分成了更多的矩形。

综合示例

示例1

  第二个式子也可以用上述方法计算,但是可以使用更简单的方法直接得到答案。

  如上图所示,tanx 在[-π/3, π/3]上是关于原点对称的,根据定积分的几何意义,x轴上方的面积减去x轴下方的面积,故可以直接得出答案0。

  注:

示例2


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