高等数学笔记
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第一章 函数，极限，连续
极限
数列极限定义：
如果对于任意给定的
ϵ
>
0
\\epsilon>0
ϵ>0，总存在正整数N，当n>N时，恒有
∣
x
n
−
a
∣
<
ϵ
|x_n-a|<\\epsilon
∣xn−a∣<ϵ成立，则称常数a为数列
x
n
\\x_n\\
xn当
n
n
n趋向于无穷时的极限，记为
lim
n
→
∞
x
n
=
a
\\displaystyle \\lim _n \\to \\infty x_n=a
n→∞limxn=a
即是 ∀ ϵ > 0 , ∃ N > n , 使 得 ∣ x n − a ∣ < ϵ \\forall \\epsilon>0,\\exists N>n,使得|x_n-a|<\\epsilon ∀ϵ>0,∃N>n,使得∣xn−a∣<ϵ
等价无穷小
① ( 1 + x ) a − 1 → x (1+x)^a-1 \\rightarrow x (1+x)a−1→x
② 1 − c o s a x → a 2 1-cos^a x\\rightarrow \\cfrac a2 1−cosax→2a
③ x − sin x → x 3 6 x-\\sin x\\rightarrow \\cfracx^36 x−sinx→6x3 arcsin x − x → x 3 6 \\arcsin x -x\\rightarrow \\cfracx^36 arcsinx−x→6x3
④ x − arctan x → x 3 3 x-\\arctan x\\rightarrow \\cfracx^33 x−arctanx→3x3 tan x − x → x 3 3 \\tan x -x\\rightarrow \\cfracx^33 tanx−x→3x3
⑤ x − l n ( 1 + x ) → x 2 2 x-ln(1+x)\\rightarrow \\cfrac x^22 x−ln(1+x)→2x2
泰勒展开
① e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x n n ! \\displaystyle e^x=1+x+\\cfrac x^22!+\\cfrac x^33!+\\cfrac x^nn! ex=1+x+2!x2+3!x3+n!xn
② sin x = x − x 3 3 ! + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \\displaystyle \\sin x=x-\\cfrac x^33!+(-1)^n\\cfrac x^2n+1(2n+1)! sinx=x−3!x3+(−1)n(2n+1)!x2n+1
③ cos x = 1 − x 2 2 ! + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! \\displaystyle \\cos x=1-\\cfrac x^22!+(-1)^n\\cfrac x^2n(2n)! cosx=1−2!x2+(−1)n(2n)!x2n
④ ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + ( − 1 ) n − 1 x n n \\ln (1+x)=x-\\cfracx^2 2+(-1)^n-1\\cfracx^n n ln(1+x)=x−2x2+(−1)n−1nxn
⑤ ( 1 + x ) a = 1 + a x + a ( a − 1 ) 2 ! x 2 + . . . + a ( a − 1 ) . . , ( a − n + 1 ) n ! x n (1+x)^a=1+ax+\\cfraca(a-1)2!x^2+...+\\cfraca(a-1)..,(a-n+1)n!x^n (1+x)a=1+ax+2!a(a−1)x2+...+n!a(a−1)..,(a−n+1)xn
⑥令⑤中的 a = − 1 a=-1 a=−1,可得：
1 1 + x = 1 − a x + x 2 + . . . + ( − 1 ) n x n \\cfrac11+x=1-ax+x^2+...+(-1)^nx^n 1+x1=1−ax+高等数学笔记