[Code+#3]博弈论与概率统计

Posted 2020-11-23 asuldb

题目

记得曾经和稳稳比谁后抄这个题的题解，看来是我输了

不难发现(p)是给着玩的，只需要求一个总情况数除以(inom{n+m}{n})就好了

记(i)为无效的失败次数，即( m Alice)在得分为(0)时的失败次数，那么最后的得分就是(n-m+i)

不妨将赢看成(1)输看成(-1)，我们把输赢情况写成一个(n+m)的序列，记这个序列的最小前缀和为(t)，那么无效失败次数就是(|min(0,t)|)，也就是当(t<0)的时候，得分应为(n-m+|t|)

证明的话，考虑一种构造方法，我们把对最小前缀和产生影响的(t)个(-1)拿出来，显然两个(-1)之间的数的和应为(0)，和为(0)意思就是分数可能涨了涨但最后又扣成(0)了，于是在得分为(0)的时候失败的次数就是(t)次

之后套路的转化成一个平面上的问题，将(-1)视为向上走，(1)视为向右走，那么无效失败次数为(i)的方案数等价与在坐标系上从((0,0))走到((n,m))且经过至少一次(y=x+i)且不超过的方案数

简单容斥一下，求一下严格低于(y=x+i+1)的方案数减一下严格低于(y=x+i)的方案数就好了

这个老哥的博客里的图挺好的

对于一个不合法的方案，我们取第一次达到(y=x+i)之前的路径，并将这段路径沿(y=x+i)翻折，就得到了一条从((-i,i))到((n,m))的路径，不难发现这样的路径会经过至少一次(y=x+i)，所以这样的路径和不合法的路径是一一对应的，显然这样的路径条数是(inom{n+m}{n+i})

于是严格低于(y=x+i)的路径条数就是(inom{n+m}{n}-inom{n+m}{n+i})，于是恰好经过经过至少一次(y=x+i)且不超过的方案数为(inom{n+m}{m}-inom{n+m}{n+i+1}-inom{n+m}{n}+inom{n+m}{n+i}=inom{n+m}{n+i}-inom{n+m}{n+i+1})

对于(ngeq m)的情况，我们求得即为(sum_{i=0}^m(n-m+i)(inom{n+m}{n+i}-inom{n+m}{n+i+1}))

简单划开就会发现求得其实是((n-m)inom{n+m}{m}+sum_{i=0}^{m-1}inom{n+m}{n+i})

多组询问求后面那个柿子好像还是一道题来着，直接大力莫队即可