概率论与数理统计 Chapter2. 随机变量及概率分布
Posted Espresso Macchiato
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了概率论与数理统计 Chapter2. 随机变量及概率分布相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1. 离散分布
1. 二项分布
1. 概率密度函数
P ( x = i ; n , p ) = C n i ⋅ p i ⋅ ( 1 − p ) n − i P(x=i; n,p) = C_n^i \\cdot p^i \\cdot (1-p)^n-i P(x=i;n,p)=Cni⋅pi⋅(1−p)n−i
2. 典型应用场景
某一事件的发生概率为p，那么，在n次实验之后，其发生次数为i的概率。
2. 负二项分布（帕斯卡分布）
1. 概率密度函数
P ( x = k ; r , p ) = C k + r − 1 r − 1 ⋅ p r ⋅ ( 1 − p ) k P(x=k; r,p) = C_k+r-1^r-1 \\cdot p^r \\cdot (1-p)^k P(x=k;r,p)=Ck+r−1r−1⋅pr⋅(1−p)k
2. 典型应用场景
假设某商品的次品率为p，我们持续对商品进行良品检测，当检测到第r个次品的时候终止。
当某一次检测终止时，恰好抽取到k个正品的概率即可用上述公式进行表达。
3. 多项分布
1. 概率密度函数
P ( X 1 = n 1 , X 2 = n 2 , . . . , X m = n m ) = n ! n 1 ! n 2 ! . . . n m ! p 1 n 1 p 2 n 2 . . . p m n m P(X_1 = n_1, X_2 = n_2, ..., X_m = n_m) = \\fracn!n_1! n_2! ... n_m! p_1^n_1 p_2^n_2 ... p_m^n_m P(X1=n1,X2=n2,...,Xm=nm)=n1!n2!...nm!n!p1n1p2n2...pmnm
2. 典型应用场景
某一个事件，出现结果1的概率是 p 1 p_1 p1，出现结果2的概率是 p 2 p_2 p2，直到出现结果m的概率为 p m p_m pm。现在，一共做n次实验，其中结果1到结果m出线的次数分别为 n 1 n_1 n1到 n m n_m nm的概率即可用上式进行表达。
4. 超几何分布
1. 概率密度函数
P ( X = m ) = C M m ⋅ C N − M n − m / C N n P(X = m) = C_M^m \\cdot C_N-M^n-m / C_N^n P(X=m)=CMm⋅CN−Mn−m/CNn
2. 典型应用场景
一共N个球，其中黑球有M个，现在一次性抽取n个球，其中黑球的个数为m的概率。
特别的，当 N → ∞ N \\to \\infty N→∞时，超几何分布可以近似于二项分布。
5. 泊松分布
1. 概率密度函数
P ( x = i ) = e − λ ⋅ λ i / i ! P(x=i) = e^-\\lambda \\cdot \\lambda^i / i! P(x=i)=e−λ⋅λi/i!
2. 典型应用场景
已知某路口在平均每天发生的车祸次数为 λ \\lambda λ，则某一天该路口发生了i次车祸的概率即为P。
2. 连续分布
1. 均匀分布
1. 概率密度函数
f ( x ) = 1 / ( b − a ) f(x) = 1/(b-a) f(x)=1/(b−a)
2. 指数分布
1. 概率密度函数
f ( x ) = λ ⋅ e − λ x f(x) = \\lambda \\cdot e^-\\lambda x f(x)=λ⋅e−λx
2. 典型应用场景
假设某一个电子元件的平均寿命是 λ \\lambda λ，则其实际使用寿命为x的概率密度函数即为 f ( x ) f(x) f(x)。
3. 威布尔分布
1. 密度分布函数
f ( x ) = λ a x a − 1 e − λ x a f(x) = \\lambda a x^a-1 e^-\\lambda x^a f(x)=λaxa−1e−λxa
2. 典型应用场景
依然还是上述寿命问题，只是上述假设任何时候元件损坏的概率都是一致的，这里则假设不同时候设备损坏的概率是不同的，使用时间越长，设备越容易损坏。
4. 一维正态分布
1. 密度分布函数
f
(
x
)
=
1
2
π
⋅
σ
⋅
e
x
p
(
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
)
f(x) = \\frac1\\sqrt2\\pi \\cdot \\sigma \\cdot exp(-\\frac(x-\\mu)^22\\sigma^2)
f(x)=2π⋅σ1⋅exp(−2σ2(x−μ)2) 以上是关于概率论与数理统计 Chapter2. 随机变量及概率分布的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章