逆序对的两种求法

Posted 2020-11-22 emcikem

逆序对

对于一个数论(a_{1},a_{2}......a_{n}),定义有一对序列({i,j}),当且仅当(i<j)且(a_{i}>a_{j})为逆序对

归并排序

归并排序是基于分治思想进行的，把区间([l,r])拆分成([l,mid])和([mid+1,r])两部分，分治下去进行排序，每次合并的复杂度就是当前[l,r]的长度，进行(log_{2}n)次分治,总长度为n，则
归并排序的复杂度为(O(nlog_{2}n))

归并排序写法

void MergeSort(int l,int r){
    if(l == r)return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    MergeSort(l, mid);//左边
    MergeSort(mid+1,r);//右边
    int i = l,j = mid + 1, t = l;//i是左边的,j是右边的
    while(i <= mid && j <= r){
        if(a[i] <= a[j])b[t++] = a[i++];//左边小
        else b[t++] = a[j++];
    }
    while(i <= mid)b[t++] = a[i++];//右边部分多
    while(j <= r)b[t++] = a[j++];//左边部分多
    for(int k = l;k <= r; k++)a[k] = b[k];//及时更新
}

而对于求逆序对，由于合并所以左边和右边都是一组有序的数论。
左区间中剩下没加入的合并元素部分的一定就比右区间大
所以，在

else b[t++] = a[j++];

部分加一个ans += mid-i+1

则基于归并排序的求逆序对模板为

void MergeSort(int l,int r){
    if(l == r)return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    MergeSort(l, mid);//左边
    MergeSort(mid+1,r);//右边
    int i = l,j = mid + 1, t = l;//i是左边的,j是右边的
    while(i <= mid && j <= r){
        if(a[i] <= a[j])b[t++] = a[i++];//左边小
        else b[t++] = a[j++],ans += mid - i + 1;
    }
    while(i <= mid)b[t++] = a[i++];//右边部分多
    while(j <= r)b[t++] = a[j++];//左边部分多
    for(int k = l;k <= r; k++)a[k] = b[k];//及时更新
}

树状数组