统计逆序对的两种解法

Posted 2022-02-08 fridayfang

统计逆序对的两种解法

归并排序(mergeSort)

逆序对定义

\(i<j\) 但\(a[i]>a[j]\),假设我们分别使得通过mergeSort使得左右半边有序

即\(a[1]...a[mid]\) 递增, \(a[mid+1]....a[n]\)递增,我们需要通过merge操作，完成整个的排序和新增逆序对的计数，较小值出现在左半边记为 a[i],出现在右半边即为 a[j],那么每次出现在右半边，意味左半边比a[i]大的数都比a[j]大，由此可以统计逆序对
HDU1394

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define db(x) cout<<"["<<#x<<"]="<<x<<endl
/*
归并排序求逆序对+规律

*/
const int maxn = 5010;
int a[maxn];
int c[maxn];
int b[maxn];
//mergeSort
int n;
int merge1(int* a,int l1,int r1,int l2,int r2)
    int p1=l1,p2 = l2;
    int t = 0;
    int cnt = 0;
    //db(a[p1]);db(a[p2]);
    while(p1<=r1&&p2<=r2)
        if(a[p1]<a[p2])
            b[t] = a[p1];
            p1++;
            t++;
        
        else//a[p1]>a[p2]; a[p2] 小于 p1...r1所有数
            b[t] = a[p2];
            cnt+=(r1-p1+1);
            //db(cnt);
            p2++;
            t++;
        
    
    while(p1<=r1)b[t]=a[p1];p1++,t++;
    while(p2<=r2)b[t]=a[p2];p2++,t++;
    for(int k=0;k<t;k++)
        a[l1+k] = b[k];
    
    //db(cnt);db(l1);db(r1);db(l2);db(r2);
    return cnt;


int mergeSort(int* a,int l,int r)
    if(l==r) return 0;
    int cnt = 0;
    int mid = (l+r)>>1;
    cnt+=mergeSort(a,l,mid);
    cnt+=mergeSort(a,mid+1,r);
    cnt+=merge1(a,l,mid,mid+1,r);
    return cnt;

int main()
    while(cin>>n)
        for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];c[i]=a[i];
        int tmp = mergeSort(a,0,n-1);
        //db(tmp);
        int mint = tmp;
        for(int i=0;i<n-1;i++)
            tmp +=n-1-2*c[i];
            //db(tmp);
            mint = min(tmp,mint);
        
        cout<<mint<<endl;


    
    return 0;

线段树

线段树的解法非常简单，每次插入a[i] ,同时对a[i]+1....n-1进行计数；

此时要求元素范围不能太大，当然如果是在\(1..n\)之间，那么非常理想

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define db(x) cout<<"["<<#x<<"]="<<x<<endl
const int maxn = 5e3+10;
struct node
    int l,r,num; //num维护的信息是节点插入的区间插入节点的数目
tr[maxn<<2];//线段树
int a[maxn];
void build(int n,int x,int y)//n是根节点下标,x,y是维护的区间范围
    tr[n].l = x,tr[n].r = y;
    tr[n].num = 0;
    if(x==y) return ;
    int mid = (x+y)>>1;//no over
    build(n<<1,x,mid);
    build(n<<1|1,mid+1,y);
    tr[n].num = tr[n<<1].num+tr[n<<1|1].num;

void modify(int n,int p)//跟新区间单点p的信息
    int l = tr[n].l, r= tr[n].r;
    if(l==r&&l==p)//found
        tr[n].num=1;
        return ;
    
    int mid = (l+r)>>1;
    if(p<=mid) modify(n<<1,p);
    if(p>mid) modify(n<<1|1,p);
    tr[n].num = tr[n<<1].num+tr[n<<1|1].num;

int query(int n,int x,int y)
    int l = tr[n].l , r=tr[n].r;
    int mid = (l+r)>>1;
    int ans = 0;
    if(l>=x&&r<=y)//x,y覆盖了l,r
        return tr[n].num;
    
    if(x<=mid) ans+=query(n<<1,x,y);
    if(y>mid) ans+=query(n<<1|1,x,y);
    return ans;

int n;
int main()
    while(cin>>n)
        build(1,0,n-1);
        int ans = 0;
        for(int i=0;i<n;i++)
            cin>>a[i];
            int t=query(1,a[i]+1,n-1);
            //db(t);
            ans+=t;
            modify(1,a[i]);
        
        int mint = ans;
        //db(ans);
        for(int i=0;i<n-1;i++)
            ans+=(n-1-2*a[i]);
            mint = min(ans,mint);
        
        cout<<mint<<endl;
    
    return 0;