位运算卷积

Posted 2020-11-21 yuanquming

定义

[ egin{aligned} mex(a,b)=sum_{i=0}^{k-1}mex(a_i,b_i)3^i end{aligned} ]

其中(a_i,b_i)表示(a,b)的三进制第(i)位，求

[ egin{aligned} c_k=sum_{mex(i,j)=k}a_i,b_j end{aligned} ]

我们先把柿子列出来

[ egin{aligned} &c_0 = a_1b_2 + a_2b_1 + a_1b_1 + a_2b_2&c_1 = a_0b_0 + a_0b_2 + a_2b_0 &c_2 = a_0b_1 + a_1b_0 end{aligned} ]

然后把左边每一项都凑成可以表示成右边两个相同形式的积的形式，发现(3)位不够，得多加一位，而且还得额外搞一个(c_3)

[ egin{aligned} &c_0 = (a_1+a_2)(b_1+b_2) &c_0 + c_1 + c_2 = (a_0 + a_1 + a_2)(b_0 + b_1 + b_2) &c_3 = a_2b_2 &c_1 + c_3 = (a_0 + a_2)(b_0 + b_2) end{aligned} ]

这就是它的(FWT)了。由于我们需要的是四位，而题中是三位，所以得三进制转四进制最后转三进制回去

复杂度(O(k4^k))

代码如下

inline void FWT(int &a,int &b,int &c,int &d){
    int x0=a,x1=b,x2=c;
    a=x1+x2,b=x0+x1+x2,c=x0+x2,d=x2;
}
inline void IFWT(int &a,int &b,int &c,int &d){
    int x0=a,x1=b,x2=c;
    a=x0,b=x2-d,c=x1-x0-x2+d;
}
inline void FWT(int *a,int lim){
    for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=2)
        for(R int j=0;j<lim;j+=(mid<<2))
            fp(k,0,mid-1)
            FWT(a[j+k],a[j+k+mid],a[j+k+mid*2],a[j+k+mid*3]);
}
inline void IFWT(int *a,int lim){
    for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=2)
        for(R int j=0;j<lim;j+=(mid<<2))
            fp(k,0,mid-1)
            IFWT(a[j+k],a[j+k+mid],a[j+k+mid*2],a[j+k+mid*3]);
}

我们发现二进制的三个卷积也可以用这个套路来解释

暂时还凑不出三进制循环卷积的系数，所以只会用扩域的那个方法了

如果有哪位老鸽能凑出来的话可以在下方尽情嘲讽我