「总结」多项式生成函数相关

Posted 2021-03-23 lrefrain

这次主要来说一下(FWT)
我们知道(FFT)是一种变换。
我们要构造的(FWT)也是一种变换。

(FWT)是用来干什么的呢？
用来求位运算卷积。
或许这么说还是不够明确。
我们定义卷积是这样一个东西：
[c_k=sumlimits_{icirc j}a_ib_j]
里面那个圈表示一种运算。
普通卷积就是(+)
狄利克雷卷积就是(*)
子集卷积就是(subseteq)
那么位运算卷积呢？
(and,or,xor)

其实(and)和(or)还是比较简单的，而(xor)是最难的。

1.(or)卷积
我们要求这种形式的卷积：
[c_k=sumlimits_{i or j=k}a_ib_j]
我们设我们的变换为(T(A))，逆变换为(IT(A))。
这个变换按照(FFT)的套路来说的话，需要满足：
T(AB)=T(A)T(B)
AB=IT(T(A)T(B))
也就是卷积变成对位乘法。

如果这样构造的话（其实我也不知道怎么想到这么造的）：
[T(A)_j=sumlimits_{i or j=j}A_i]
那么我们展开一下上面的卷积:
[T(A*B)_i=sumlimits_{j or i=i}sumlimits_{k or l=j}A_kB_l=sumlimits_{k or lsubseteq i}A_kB_l]
[(T(A)T(B))_i=sumlimits_{k or i=i}A_Ksumlimits_{l or i=i}B_l=sumlimits_{k or lsubseteq i}A_kB_l]

所以说是对的。
下面说怎么计算(or)卷积。
我们考虑这个东西的转移是怎么样的。
首先假设(A)的两半(A_0)和(A_1)的变换已经计算出来了，我们现在来求(A)的变换。
我们设(merge(A,B))为连接两个数组的函数。
那么：
[T(A)=merge(T(A_0),T(A_0)+T(A_1))]
为什么呢？
因为当前这一位最高位为0的情况属于为1的情况的子集，所以把(A_0)加到(A_1)那边去就可以了。
逆变换就显然了。
[IT(A)=merge(IT(A_0),IT(A_1)-IT(A_0))]
减回去就完了。

2.1.(and)卷积
我们要求这种形式的卷积。
[c_k=sumlimits_{i and j=k}a_ib_j]
同样构造变换(T)
考虑这样的变换：
[T(A)_i=sumlimits_{i and j=i}a_j]
展开一下：
[T(A*B)_i=sumlimits_{i and j=i}sumlimits_{k and l=j}A_kB_l=sumlimits_{isubseteq k and l}A_kB_l]
[(T(A)T(B))_i=sumlimits_{k and i=i}sumlimits_{l and i=i}A_kB_l=sumlimits_{isubseteq k and l}A_kB_l]
得到了点值对乘的式子了。
类似或卷积。
[T(A)=merge(T(A_0)+T(A_1),T(A_1))]
[IT(A)=merge(IT(A_0)-IT(A_1),IT(A_1))]

3.(xor)卷积
这里复读一下(rvalue)学长（姐）的讲解。（其实是我想不出其他的证明方法）

对于一个二进制数(x)，我们设(d(x))为其二进制(1)个数的奇偶性。
那么有如下结论：
[d(i and k) xor d(j and k)=d((i xor j) and k)]
首先(and k)相当于没有，这就是改变二进制位数的区别。
剩下的很显然。
(i)每次多出来一个(1),总体的(1)的奇偶性就会变化。

尝试构造如下变换：
[T(A)_i=sumlimits_{d(i and j)=0}A_j-sumlimits_{d(i and j)=1}A_j]
展开一下：
[T(A*B)_i=left(sumlimits_{d(i and j)=0}sumlimits_{k xor l=j}A_kB_l ight)-left(sumlimits_{d(i and j)=1}sumlimits_{k xor l=j}A_kB_l ight)]
[egin{aligned}(T(A)T(B))_i&=left(sumlimits_{d(i and j)=0}A_j-sumlimits_{d(i and j)=1}A_j ight)left(sumlimits_{d(i and j)=0}B_j-sumlimits_{d(i and j)=1}B_j ight)&=left(sumlimits_{d(a and i) xor d(b and i)=0}A_aB_b ight)-left(sumlimits_{d(a and i) xor d(b and i)=1}A_aB_b ight)&=left(sumlimits_{d((a xor b) and i)=0}A_aB_b ight)-left(sumlimits_{d((a xor b) and i)=1}A_aB_b ight)&=left(sumlimits_{d(i and j)=1}sumlimits_{k xor l}A_kB_l ight)-left(sumlimits_{d(i and j)=1}sumlimits_{k xor l}A_kB_l ight)\end{aligned}]

卷积性变换构造的是对的了。
考虑该怎么计算。
[T(A)=merge(T(A_0)+T(A_1),T(A_0)-T(A_1))]
如果最高位为0的话，那么无论如何这个(and)运算都是0，不会改变贡献。
直接在左边即可。
如果最高位为1的话，对于右侧的值会产生多一个1的贡献，这样会导致奇偶性取反，所以取反加上去。
逆变换的话：
[IT(A)=merge(frac{IT(A_0)+IT(A_1)}{2},frac{IT(A_0)-IT(A_1)}{2})]

这样的话就可以快速求位运算卷积了