FWT 等总结

Posted 2022-05-22 lnzwz

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• 与卷积：
  • 代码：
• 或卷积：
  • 代码：
• 异或卷积：
  • 代码：

FWT可以解决位运算卷积问题。
即\(h(i)=\sum\limits_j⊕k=i f(j)*g(k)\)，其中“⊕”表示位运算。

与卷积：

定义\(f\)到\(F\)的变换：\(F(i)=\sum\limits_j\&i==i^ f(j)\)。
这样，若\(h(i)=\sum\limits_j and k=i f(j)*g(k)\)，则\(H(i)=F(i)*G(i)\)。
变换方法：就是按照长度为\(2^i\)分段，把每段的后半部分加到前半部分（1对0有额外贡献）。
逆变换就是减回去。时间复杂度：\(O(nlogn)\)。

代码：

void fwtand(int sz[132000],int n)

    for(int i=2;i<=n;i=(i<<1))
    
        for(int j=0;j<n;j+=i)
        
            for(int k=0;k<(i>>1);k++)
                sz[j+k]=(sz[j+k]+sz[j+(i>>1)+k])%md;
        
    

void ifwtand(int sz[132000],int n)

    for(int i=2;i<=n;i=(i<<1))
    
        for(int j=0;j<n;j+=i)
        
            for(int k=0;k<(i>>1);k++)
                sz[j+k]=(sz[j+k]-sz[j+(i>>1)+k]+md)%md;
        
    

或卷积：

与“与卷积”类似。
定义\(f\)到\(F\)的变换：\(F(i)=\sum\limits_j|i==i^ f(j)\)。
这样，若\(h(i)=\sum\limits_j or k=i f(j)*g(k)\)，则\(H(i)=F(i)*G(i)\)。
变换方法：就是按照长度为\(2^i\)分段，把每段的前半部分加到后半部分（0对1有额外贡献）。
逆变换就是减回去。时间复杂度：\(O(nlogn)\)。

代码：

void fwtor(int sz[132000],int n)

    for(int i=2;i<=n;i=(i<<1))
    
        for(int j=0;j<n;j+=i)
        
            for(int k=0;k<(i>>1);k++)
                sz[j+(i>>1)+k]=(sz[j+(i>>1)+k]+sz[j+k])%md;
        
    

void ifwtor(int sz[132000],int n)

    for(int i=2;i<=n;i=(i<<1))
    
        for(int j=0;j<n;j+=i)
        
            for(int k=0;k<(i>>1);k++)
                sz[j+(i>>1)+k]=(sz[j+(i>>1)+k]-sz[j+k]+md)%md;
        
    

异或卷积：

这个比较常用。
定义\(f\)到\(F\)的变换：\(F(i)=\sum\limits_j=0^2^n-1(-1)^bit(j and i)f(j)\)。
这样，若\(h(i)=\sum\limits_j xor k=i f(j)*g(k)\)，则\(H(i)=F(i)*G(i)\)。
变换方法：就是按照长度为\(2^i\)分段，把每段的前半部分变为前半部分加后半部分，
后半部分变为前半部分减后半部分。
逆变换就是相当于已知\(a+b=x，a-b=y\)，则\(a=(x+y)/2，b=(x-y)/2\)。
就是正变换再除以2。
时间复杂度：\(O(nlogn)\)。

代码：

void fwtxor(int sz[132000],int n)

    for(int i=2;i<=n;i=(i<<1))
    
        for(int j=0;j<n;j+=i)
        
            for(int k=0;k<(i>>1);k++)
            
                int a=sz[j+k],b=sz[j+(i>>1)+k];
                sz[j+k]=(a+b)%md;
                sz[j+(i>>1)+k]=(a-b+md)%md;
            
        
    

void ifwtxor(int sz[132000],int n)

    for(int i=2;i<=n;i=(i<<1))
    
        for(int j=0;j<n;j+=i)
        
            for(int k=0;k<(i>>1);k++)
            
                int a=sz[j+k],b=sz[j+(i>>1)+k];
                sz[j+k]=1ll*(a+b)*inv%md;
                sz[j+(i>>1)+k]=1ll*(a-b+md)*inv%md;
            
        
    

FST：子集卷积
即\(h(i)=\sum\limits_j or k=i且j and k=0 f(j)*g(k)\)。
比或卷积多了一个限制。
我们发现，设\(s(i)\)表示\(i\)的二进制表示中1的个数，那么如果\(i\|j=k，i\&j=0\)，则\(s(i)+s(j)=s(k)\)。
利用这个性质，我们可以加一维表示\(s\)，在\(F*G\)时考虑\(s\)的限制。
时间复杂度：\(O(nlog^2n)\)。
代码：

for(int i=0;i<len;i++)

    for(int j=0;j<17;j++)
    
        if(i&(1<<j))
            sl[i]+=1;
    

for(int i=0;i<len;i++)
    a[sl[i]][i]=sz[i];
for(int i=0;i<18;i++)
    fwtor(a[i],len);
for(int i=0;i<18;i++)

    for(int j=0;i+j<18;j++)
    
        for(int k=0;k<len;k++)
            h1[i+j][k]=(h1[i+j][k]+1ll*a[i][k]*a[j][k])%md;
    

for(int i=0;i<18;i++)
    ifwtor(h1[i],len);
for(int i=0;i<len;i++)
    ab[i]=h1[sl[i]][i];