算法—— 集合的子集

Posted 2020-11-21 bopo

问题

给定一个集合，输出它的所有子集。

示例：

给定集合｛1，2，3｝，应该输出：

{}

{1}

{2}

{1, 2}

{3}

{1, 3}

{2, 3}

{1, 2, 3}

解法1：增量构造法

增量构造法，每次选择一个元素放到集合中，每次操作的结果即是一个子集。

递归操作，每次向当前集合中添加一个比当前集合中最大的元素大1的数。

from __future__ import print_function
 
def print_subset(n, lst, cur):
    for i in range(cur):
        print(lst[i]+1, end=‘‘)
    print()
    if cur:
        s = lst[cur - 1] + 1
    else:
        s = 0
    for i in range(s, n):
        lst[cur] = i
        print_subset1(n, lst, cur+1)

 

解法2：位向量法

构造位向量（可理解为构造一个数组），该向量中的每一位置可以取0值或者1值，0和1分别代表该位置上对应的值是否在集合中。如向量为[1, 0, 0, 1]，其第1和4位上有1，所以该向量表示的集合为{1, 4}。

思路：
如果需要用向量来表示集合，那么需要保证向量的每一种变化能够刚好覆盖集合的每一种可能性。

对n求子集，构造长度为n的向量，每一位可以代表取或者不取该位置的值，共有2^n中可能。

from __future__ import print_function
 
def print_subset(n, lst, cur):
    if cur == n:
        for i in range(n):
            if lst[i]:
                print(i+1, end=‘‘)
        print()
    else:
        lst[cur] = 0
        print_subset(n, lst, cur+1)
        lst[cur] = 1
        print_subset(n, lst, cur+1)

 

解法3：二进制法

我们可以使用二进制法来表示子集。对于n求子集，其子集有2^n个（包括空集），比如n = 4，其有16个子集，这16个子集用二进制可以表示成：

0->0000->{}
1->0001->{1}
2->0010->{2}
3->0011->{1,2}
4->0100->{3}
5->0101->{1,3}
...
15->1111->{1,2,3,4}

思路：

求n的子集，可以依次处理1到2^n - 1之间的每一个数，每个数取出它二进制表示中的1的位置，以此表示该数对应的集合。比如5，二进制表示的后四位为0101，其在第1和第3位处有1，那么，其代表的集合为{1, 3}。使用位运算中与（&）操作，可以方便的求出二进制某位置上是否为1。

from __future__ import print_function
s = 1
n = 4
while s < (1 << n):  # 依次遍历1到2^n - 1之间的每一个数
    for i in range(n):  # 每一个数使用&操作判断该位置上是否有1，有打印或者保存起来
        if s & (1 << i):
            print(i+1, end=‘‘)
    print()
    s += 1