[luogu2579 ZJOI2005] 沼泽鳄鱼(矩阵快速幂)

Posted 2020-11-21 menteur-hxy

传送门

题目描述

潘塔纳尔沼泽地号称世界上最大的一块湿地，它地位于巴西中部马托格罗索州的南部地区。每当雨季来临，这里碧波荡漾、生机盎然，引来不少游客。

为了让游玩更有情趣，人们在池塘的中央建设了几座石墩和石桥，每座石桥连接着两座石墩，且每两座石墩之间至多只有一座石桥。这个景点造好之后一直没敢对外开放，原因是池塘里有不少危险的食人鱼。

豆豆先生酷爱冒险，他一听说这个消息，立马赶到了池塘，想做第一个在桥上旅游的人。虽说豆豆爱冒险，但也不敢拿自己的性命开玩笑，于是他开始了仔细的实地勘察，并得到了一些惊人的结论：食人鱼的行进路线有周期性，这个周期只可能是2，3或者4个单位时间。每个单位时间里，食人鱼可以从一个石墩游到另一个石墩。每到一个石墩，如果上面有人它就会实施攻击，否则继续它的周期运动。如果没有到石墩，它是不会攻击人的。

借助先进的仪器，豆豆很快就摸清了所有食人鱼的运动规律，他要开始设计自己的行动路线了。每个单位时间里，他只可以沿着石桥从一个石墩走到另一个石墩，而不可以停在某座石墩上不动，因为站着不动还会有其它危险。如果豆豆和某条食人鱼在同一时刻到达了某座石墩，就会遭到食人鱼的袭击，他当然不希望发生这样的事情。

现在豆豆已经选好了两座石墩Start和End，他想从Start出发，经过K个单位时间后恰好站在石墩End上。假设石墩可以重复经过（包括Start和End），他想请你帮忙算算，这样的路线共有多少种（当然不能遭到食人鱼的攻击）。

输入输出格式

输入格式：

输入文件共M + 2 + NFish行。

第一行包含五个正整数N，M，Start，End和K，分别表示石墩数目、石桥数目、Start石墩和End石墩的编号和一条路线所需的单位时间。石墩用0到N–1的整数编号。

第2到M + 1行，给出石桥的相关信息。每行两个整数x和y，0 ≤ x, y ≤ N–1，表示这座石桥连接着编号为x和y的两座石墩。

第M + 2行是一个整数NFish，表示食人鱼的数目。

第M + 3到M + 2 + NFish行，每行给出一条食人鱼的相关信息。每行的第一个整数是T，T = 2，3或4，表示食人鱼的运动周期。接下来有T个数，表示一个周期内食人鱼的行进路线。

如果T＝2，接下来有2个数P0和P1，食人鱼从P0到P1，从P1到P0，……；

如果T＝3，接下来有3个数P0，P1和P2，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P0，……；

如果T＝4，接下来有4个数P0，P1，P2和P3，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P3，从P3到P0，……。

豆豆出发的时候所有食人鱼都在自己路线上的P0位置，请放心，这个位置不会是Start石墩。

输出格式：

输出路线的种数，因为这个数可能很大，你只要输出该数除以10000的余数就行了。

输入输出样例

输入样例#1：

6 8 1 5 3
0 2
2 1
1 0
0 5
5 1
1 4
4 3
3 5
1
3 0 5 1

输出样例#1：

2

说明

1 ≤ N ≤ 50

1 ≤ K ≤ 2,000,000,000

1 ≤ NFish ≤ 20

题解

显然是从周期只有2,3,4这里下手。。
我们会发现变化路线其实是有循环的（周期为2,3,4的最小公倍数12）
那么我们可以预处理出一下走12次的矩阵，用它快速幂来完成大部分的步数
然后剩余不到12步就暴力求一下就行了
分块既视感
具体实现的时候有一些小细节如：
0 ≤ x, y ≤ N–1
矩阵乘法没有交换律要考虑顺序
等等 具体看代码吧

code:

//By Menteur_Hxy
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define LL long long
#define M(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))
#define F(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define C(i,a,b) for(register int i=(b);i>=(a);i--)
using namespace std;

LL rd() {
    LL x=0,fla=1; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) {if(c==‘-‘) fla=-fla;c=getchar();}
    while(isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
    return x*fla;
}

const int MOD=10000;
const int NF=30,N=60;
int n,m,st,en,ti,nf;
int edg[N][N];
int da[20][N],mat[3][N][N],A[20][N][N];

void mul(int a[N][N],int b[N][N]) {
    int c[N][N]; M(c,0);
    F(i,1,n) F(j,1,n) F(k,1,n) c[i][j]=(c[i][j]+(a[i][k]*b[k][j])%MOD)%MOD;
    F(i,1,n) F(j,1,n) a[i][j]=c[i][j];
}

int main() {
    n=rd(),m=rd(),st=rd(),en=rd(),ti=rd();
    F(i,1,m) {
        int a=rd()+1,b=rd()+1;
        edg[a][b]=edg[b][a]=1;
    }
    nf=rd();
    while(nf--) {
        int T=rd();
        for(int i=1;i<=T;i++) {
            int x=rd()+1;
            for(int j=i;j<=12;j+=T) da[j][x]=1;
        }
    }
    F(i,1,n) mat[1][i][i]=mat[0][i][i]=1;
    F(t,1,12) F(i,1,n) F(j,1,n) A[t][i][j]=(edg[i][j]&&(!da[t][j]));
    F(i,2,12) mul(mat[0],A[i]); mul(mat[0],A[1]);
    int k=ti/12,K=ti%12;
    while(k) {
        if(k&1) mul(mat[1],mat[0]);
        mul(mat[0],mat[0]); k>>=1;
    }
    F(i,2,K+1) mul(mat[1],A[i]);
    printf("%d",mat[1][st+1][en+1]);
    return 0;
}