BZOJ1898[Zjoi2005]Swamp 沼泽鳄鱼 矩阵乘法

Posted 2020-09-15 CQzhangyu

【BZOJ1898】[Zjoi2005]Swamp 沼泽鳄鱼

Description

潘塔纳尔沼泽地号称世界上最大的一块湿地，它地位于巴西中部马托格罗索州的南部地区。每当雨季来临，这里碧波荡漾、生机盎然，引来不少游客。为了让游玩更有情趣，人们在池塘的中央建设了几座石墩和石桥，每座石桥连接着两座石墩，且每两座石墩之间至多只有一座石桥。这个景点造好之后一直没敢对外开放，原因是池塘里有不少危险的食人鱼。豆豆先生酷爱冒险，他一听说这个消息，立马赶到了池塘，想做第一个在桥上旅游的人。虽说豆豆爱冒险，但也不敢拿自己的性命开玩笑，于是他开始了仔细的实地勘察，并得到了一些惊人的结论：食人鱼的行进路线有周期性，这个周期只可能是2，3或者4个单位时间。每个单位时间里，食人鱼可以从一个石墩游到另一个石墩。每到一个石墩，如果上面有人它就会实施攻击，否则继续它的周期运动。如果没有到石墩，它是不会攻击人的。借助先进的仪器，豆豆很快就摸清了所有食人鱼的运动规律，他要开始设计自己的行动路线了。每个单位时间里，他只可以沿着石桥从一个石墩走到另一个石墩，而不可以停在某座石墩上不动，因为站着不动还会有其它危险。如果豆豆和某条食人鱼在同一时刻到达了某座石墩，就会遭到食人鱼的袭击，他当然不希望发生这样的事情。现在豆豆已经选好了两座石墩Start和End，他想从Start出发，经过K个单位时间后恰好站在石墩End上。假设石墩可以重复经过（包括Start和End），他想请你帮忙算算，这样的路线共有多少种（当然不能遭到食人鱼的攻击）。

Input

输入文件共M + 2 + NFish行。第一行包含五个正整数N，M，Start，End和K，分别表示石墩数目、石桥数目、Start石墩和End石墩的编号和一条路线所需的单位时间。石墩用0到N–1的整数编号。第2到M + 1行，给出石桥的相关信息。每行两个整数x和y，0 ≤ x, y ≤ N–1，表示这座石桥连接着编号为x和y的两座石墩。第M + 2行是一个整数NFish，表示食人鱼的数目。第M + 3到M + 2 + NFish行，每行给出一条食人鱼的相关信息。每行的第一个整数是T，T = 2，3或4，表示食人鱼的运动周期。接下来有T个数，表示一个周期内食人鱼的行进路线。? 如果T＝2，接下来有2个数P0和P1，食人鱼从P0到P1，从P1到P0，……；? 如果T＝3，接下来有3个数P0，P1和P2，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P0，……；? 如果T＝4，接下来有4个数P0，P1，P2和P3，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P3，从P3到P0，……。豆豆出发的时候所有食人鱼都在自己路线上的P0位置，请放心，这个位置不会是Start石墩。

Output

输出路线的种数，因为这个数可能很大，你只要输出该数除以10000的余数就行了。 【约定】? 1 ≤ N ≤ 50 ? 1 ≤ K ≤ 2,000,000,000 ? 1 ≤ NFish ≤ 20

Sample Input

6 8 1 5 3
0 2
2 1
1 0
0 5
5 1
1 4
4 3
3 5
1
3 0 5 1

Sample Output

2
【样例说明】
时刻 0 1 2 3
食人鱼位置 0 5 1 0
路线一 1 2 0 5
路线二 1 4 3 5

题解：由于鳄鱼的周期是2,3,4，很容易发现这个图是以12为周期变化的，因此我们预处理12个邻接矩阵f[0..11]，然后将它们乘到一起，设乘积是x，那ans就是x^(K/12)*f[0..(k%12)]，用快速幂搞一下

这种矩乘优化DP的题还是应该多做一下，一开始我竟然想用一个矩阵自乘K次直接搞定。。。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define mod 10000
using namespace std;
int n,m,S,T,tim,nf,cnt;
int map[60][60];
int vis[60][13];
typedef struct matrix
{
	int v[60][60];
}M;
M x,ans,f[13],emp;
M mmul(M a,M b)
{
	M c=emp;
	int i,j,k;
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=n;j++)
			for(k=1;k<=n;k++)
				c.v[i][j]=(c.v[i][j]+a.v[i][k]*b.v[k][j])%mod;
	return c;
}
void pm(M x,int y)
{
	while(y)
	{
		if(y&1)	ans=mmul(ans,x);
		x=mmul(x,x),y>>=1;
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T,&tim),S++,T++;
	int i,j,k,l,x,y,a,b;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&a,&b),a++,b++;
		map[a][b]=map[b][a]=1;
	}
	scanf("%d",&nf);
	for(i=1;i<=nf;i++)
	{
		scanf("%d",&a);
		for(j=0;j<a;j++)
		{
			scanf("%d",&b),b++;
			for(k=0;k<12;k+=a)	vis[b][k+j]=1;
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++)	f[12].v[i][i]=ans.v[i][i]=1;
	for(k=0;k<12;k++)
	{
		for(i=1;i<=n;i++)	if(!vis[i][k])
			for(j=1;j<=n;j++)	if(!vis[j][(k+1)%12]&&map[i][j])
				f[k].v[i][j]=1;
		f[12]=mmul(f[12],f[k]);
	}
	pm(f[12],tim/12);
	for(i=0;i<tim%12;i++)	ans=mmul(ans,f[i]);
	printf("%d",ans.v[S][T]);
	return 0;
}