数字信号处理序列傅里叶变换 ( 傅里叶变换实例 | 傅里叶变换 | 傅里叶变换幅频特性 | 傅里叶变换相频特性 )

Posted 2022-03-10 韩曙亮

文章目录

• 一、序列傅里叶变换实例
• • 1、傅里叶变换
  • 2、傅里叶变换幅频特性
  • 3、傅里叶变换相频特性

一、序列傅里叶变换实例

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求序列

$$x(n)=R_N(n)①$$

的 序列傅里叶变换 SFT ;

1、傅里叶变换

傅里叶变换公式 : 根据 $x(n)$ 序列 求 $X(e^{j\omega })傅里叶变换$ ,

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}②$$

将 ① 带入到 ② 傅里叶变换 公式中 , $n$ 的取值范围是 $[0,N-1]$ ,

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}=\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{-j\omega n}$$

根据 " 等比级数求和 " 公式 , $S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ , ( 公比为 q ) , 一共有 $N$ 项 ,

$$X(e^{j\omega })=\frac{1-e^{-j\omega n}}{1-e^{-j\omega }}$$

写成如下样式 , 是为了方便编程 ,

$$X(e^{j\omega })=e^{-j\omega \frac{N-1}{2}}\frac{\sin (\frac{\omega N}{2})}{\sin (\frac{\omega }{2})}$$

矩形窗序列 方便 计算机处理 , 将序列截断后只处理有限个序列比较容易 ,

将 信号 取一段数据 , 相当于 信号 乘以 矩形窗序列 ;

$SFT[R_N(n)]=N\omega =0$

$SFT[R_N(n)]=0\omega =\frac{2\pi k}{N},k=\pm 1,\pm 2,\cdots$

绘制 $SFT[R_N(n)]$ 的坐标图 , 假设 $N=4$ ,

• 当 $\omega =0$ 时 , $SFT[R_4(n)]=4$
• 当 $\omega =\frac{2\pi k}{N}=\frac{2\pi k}{4}=\frac{\pi k}{2}$ 时 , $SFT[R_4(n)]=0$ , 第一个点是 $\frac{\pi }{2}$ , 第二个点是 $\pi$ , 如下图所示 ;

2、傅里叶变换幅频特性

幅频特性 : 在 matlab 中绘制效果如下 , matlab 中取模后再绘制 ;

3、傅里叶变换相频特性

相频特性 : matlab 中绘制其 相频特性 ,

相频特性 , 主要看 X ( e j ω ) = e − j ω N − 1 2 sin ⁡ ( ω N 2 ) sin ⁡ ( ω 2 ) X(e^j\\omega) = e^-j\\omega \\cfracN-12 \\cfrac \\sin( \\cfrac\\omega N2 ) \\sin( \\cfrac\\omega 2 ) X(ejω)=e−jω2数字信号处理序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换与反变换 | 序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系 | 序列傅里叶变换性质 )

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