最速降线问题公式推导

Posted 2020-11-18 darkchii

　　以前对物理特别感兴趣的时候就专门研究过一段时间的变分法，记得当时阅读了一本十分不错的书籍，其作者名挺有趣的—老大中先生的《变分法基础》（真的很不错的一本讲变分法的书，有兴趣的同学可以去看看），但许久没接触物理了，公式的推导过程也给忘记了，最近又开始了对数学物理研究，所以今天来推导一下并写篇博客做个记录。其实当时我的数学基础不足以支持我看完这本书...许多泛函的概念看的蒙蔽。。。但实际上直接去看最速降线问题的推导是没有太大影响的，基础只需要一点微积分+高中物理就能看明白原理，都不需要场论...说起来当时仅仅是兴趣驱使我去深入了解什么是变分法...当时知道结论时非常激动。。。但如何解最后得到的公式才是真正的变分法基础。

　　首先来考虑一个问题：一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短？

　　把问题稍微更现代一点的描述：设A、B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连接A和B的平面曲线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速度为零的质点从A点到B点沿该曲线运动时所需时间最短。

　　问题描述如图所示（图来自百科）：

　　

　　下面是书上的证明：

　　如下图中所示，取A为平面直角坐标系的原点，x轴置于水平位置，y轴正向朝下。显然，最速降线应该在这个平面内。于是A点的坐标就是(0,0)。设B点的坐标为（x₁,y₁)。取连接A和B的曲线方程为： 

$$ y = y(x) quad (0 leqslant x leqslant x_1) quad quad (1) $$

　　它在区间[0,x₁]的两个端点满足条件：

$$ y(0) = 0,y(x_1)=y_1 quad quad (2) $$

　　设M(x,y)为曲线y=y(x)上的任意一点，由机械能守恒定律可得到如下关系： 

$$ mgh + frac{1}{2}mv_0^2=mg(h-y) + frac{1}{2}mv^2 quad quad (3) $$

　　式中，v₀=0，g是重力加速度，故有：

$$ v = sqrt{2gy} quad quad (4) $$

　　设y=y(x)为曲线的运动方程，质点沿着该曲线从A点运动到B点。质点的运动速度可表示为：

$$ v = frac{ds}{dt} = sqrt{1+y‘^2} frac{dx}{dt} quad quad (5) $$

　　由式(4)、(5)消去v并积分，得质点沿曲线从A点滑行到B点所需的时间为:

$$ T=int_0^{x_1} frac{sqrt{1+y‘^2}}{sqrt{2gy}}dx $$

　　该方程的最终解析式表示该问题的答案中的曲线是摆线（也叫滚轮线或旋轮线），非常让人一种着迷的曲线。但如何解这个方程我并不会...其涉及到求泛函问题的，使用的方法就是变分法，由于我太菜，基础知识储备不够，暂时还会解。。。

　　最后，说一点该问题的小故事：最早提出该问题的是伽利略。一开始伽利略猜测答案是圆，但没能证明，从现在来看是当然的，那时候微积分还没得到发展嘛...后来1696年约翰伯努利在一封写给他哥哥雅克比伯努利（向伯努利家族低头orz）公开信中再次提出该问题，引起当时的数学家们的热议和研究，我个人听说实际上是专门向牛顿提出的挑战，考验牛顿的微积分水平。。。结果当时牛顿收到消息时已经过了大半年，但牛顿立刻就回家开始研究，花了一下午解决了问题，虽然消息来得晚，但牛顿却是提出问题后第一个解决该问题的orz。。。后来陆陆续续有一些著名的数学家都证明出来了，其中有莱布尼茨、洛必达等。这个问题标志着变分法基础的开始，后来该问题得到了欧拉、拉格朗日等著名的数学家的工作，发展出了变分法这门学科。

　　其他参考文献：

　　　　1.https://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve

　　　　2.https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_variations

　　　　3.https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%98%E5%88%86%E6%B3%95/83603?fr=aladdin

　　　　4.https://baike.baidu.com/item/%E6%91%86%E7%BA%BF/5893005?fr=aladdin

　　　　5.https://baike.baidu.com/item/%E6%B5%8B%E5%9C%B0%E7%BA%BF/2391217?fr=aladdin