关于已知两点经纬度求球面最短距离的公式推导

已知两点经纬度计算球面距离的公式，一搜一大堆，形式如下：

可是至于这个公式为什么是这样的，今天推导了一下，详细推导过程如下。首先画个图（图1），要不然空间想象能力差的话容易犯糊涂。首先对图1做个大致的说明，红色的半圆表示赤道，蓝色的圆弧表示本初子午线（也就是经度为0的子午线）。球最上方是北极点，点A和点B分别为要计算的两个点，坐标分别为A（jA,wA）和B（jB，wB）。

图1 示意图

 

再开始推导之前，我们需要在图中绘制一些辅助线，便于后面的描述和推导。如图1所示，A（jA,wA），B（jB,wB）两点分别为球面上的两点，坐标为经纬度表示。延A、B两点分别做垂直于赤道平面的垂线交赤道面为C、D两点。连接C、D两点，然后过A做CD的平行线交BD与点E。至此，所有的辅助线绘制完毕。假设地球为一个规则的圆球，半径为R（其实地球是一个椭球体，赤道的半径比极地的半径稍微大一点点）。

第一步：确定已知条件，

 

第二步：在直角和直角中有：

 

第三步：在平面ABCD中，有：

 

第四步：在直角中，使用勾股定理可以得到AB的直线长度。如下：

 

第五步：这里需要引入一个公式（5），就是大名鼎鼎的余弦定理，假设三角形的三个角为A,B,C，则有：

把上面的公式（1）、（2）、（3）、（5）带入（4）中，然后整理可以得到：

 

最后，通过整理得到AB之间的直线距离为：

第六步：我们已经知道AB的直线距离，那么AB的弧长距离可以先通过计算中对应的圆心角，然后用弧长公式计算出来。这里在依旧使用余弦定理公式（5），经过变形可以得到：

 

把式（6）带入式（7），化简得到：

 

最终，我们得到了一个关于圆心角的余弦值的公式：

 

第七步：知道圆心角，计算弧长的公式很简单，使用半径乘以圆心角（弧度单位）即可：

 

所以最后我们就得到了球面上AB的距离应该是：

最后使用公式（10）就可以编写代码来计算球面上任意两点间的最短距离了。这里使用的是一个规则的球来代替的椭球的，肯定会有误差的，一般都用这个公式来进行计算。代码就不写了，也就一两句话就出来了。最后需要注意的就是，需要把经纬度都化成弧度单位。

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……………………………………以下内容更新于2013年1月30日…………………………………………

昨天使用立体几何的知识推导了一下球面两点的距离公式，发现比较复杂，今天想到一个简单的方法，使用空间直角坐标系来推导，很方便。首先我们需要建立一个空间坐标系：在赤道平面内，X轴由球心O指向本初子午线，Y轴在赤道平面内垂直于X轴，Z轴垂直于赤道平面朝向北极。还是假设AB两点的经纬度坐标为：A（jA，wA），B（jB，wB）。由该坐标系的定义以及经纬度的定义可以把上面的AB两点的坐标转换为该坐标系中的坐标如下：

 

由两点距离公式可以得到AB的直线距离为：

 

对于球面上的任意一个点（X，Y，Z），都有：

 

把上面的公式整理就可以得到（下面用到了一个积化和差公式）：

 

好了，大功告成，是不是比用立体几何要简单的多。接下来就是用上面的弦长和弧长的关系来计算AB的弧长就可以了。